例

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

ステップ 1

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$ を方程式で書きます。

$y = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

ステップ 2

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$7 - 3 x + 2 x^{2} = y$

ステップ 3

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$- 3 x + 2 x^{2} = y - 7$

ステップ 4

平方を完成させます。

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ステップ 4.1

$- 3 x$ と $2 x^{2}$ を並べ替えます。

$2 x^{2} - 3 x = y - 7$

ステップ 4.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = - 3$

$c = 0 = y - 7$

ステップ 4.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 7$

ステップ 4.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 4.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{- 3}{4}$

ステップ 4.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{3}{4}$

ステップ 4.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

ステップ 4.5.2.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$e = 0 - \frac{9}{8}$

ステップ 4.5.2.2

$0$ から $\frac{9}{8}$ を引きます。

$e = - \frac{9}{8}$

ステップ 4.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ に代入します。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7$

ステップ 5

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $\frac{9}{8}$ を足します。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 + \frac{9}{8}$

ステップ 5.2

$- 7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 \cdot \frac{8}{8} + \frac{9}{8}$

ステップ 5.3

$- 7$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{9}{8}$

ステップ 5.4

公分母の分子をまとめます。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8 + 9}{8}$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- 7$ に $8$ をかけます。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 56 + 9}{8}$

ステップ 5.5.2

$- 56$ と $9$ をたし算します。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}$

ステップ 5.6

分数の前に負数を移動させます。

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$

ステップ 6

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

ステップ 6.2.1.2

${(x - \frac{3}{4})}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.3.1.2

$- \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{47}{8}$ をかけます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{2 \cdot 8}$

ステップ 6.3.1.2.2

$2$ に $8$ をかけます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{16}$

ステップ 7

因数分解。

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ステップ 7.1

$\frac{y}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{47}{16}$

ステップ 7.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{y}{2}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} - \frac{47}{16}$

ステップ 7.2.2

$2$ に $8$ をかけます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} - \frac{47}{16}$

ステップ 7.3

公分母の分子をまとめます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 - 47}{16}$

ステップ 7.4

$8$ を $y$ の左に移動させます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{8 y - 47}{16}$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y - 47)$

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