三角関数例

3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

u = \cos (x)

$u = \cos (x)$ とします。

u

$u$ を

\cos (x)

$\cos (x)$ に代入します。

3 u^{2} + 2 u - 1 = 0

$3 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

ステップ 1.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が

a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3

$a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ で和が

b = 2

$b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

2

$2$ を

2 u

$2 u$ で因数分解します。

3 u^{2} + 2 (u) - 1 = 0

$3 u^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

ステップ 1.2.1.2

2

$2$ を

- 1

$- 1$ プラス

3

$3$ に書き換える

3 u^{2} + (- 1 + 3) u - 1 = 0

$3 u^{2} + (- 1 + 3) u - 1 = 0$

ステップ 1.2.1.3

分配則を当てはめます。

3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0

$3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0$

3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0

$3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

(3 u^{2} - 1 u) + 3 u - 1 = 0

$(3 u^{2} - 1 u) + 3 u - 1 = 0$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0

$u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0$

u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0

$u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

最大公約数

3 u - 1

$3 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

(3 u - 1) (u + 1) = 0

$(3 u - 1) (u + 1) = 0$

(3 u - 1) (u + 1) = 0

$(3 u - 1) (u + 1) = 0$

ステップ 1.3

u

$u$ のすべての発生を

\cos (x)

$\cos (x)$ で置き換えます。

(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

3 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos (x) - 1 = 0$

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

ステップ 3

3 \cos (x) - 1

$3 \cos (x) - 1$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

3 \cos (x) - 1

$3 \cos (x) - 1$ が

0

$0$ に等しいとします。

3 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2

x

$x$ について

3 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺に

1

$1$ を足します。

3 \cos (x) = 1

$3 \cos (x) = 1$

ステップ 3.2.2

3 \cos (x) = 1

$3 \cos (x) = 1$ の各項を

3

$3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

3 \cos (x) = 1

$3 \cos (x) = 1$ の各項を

3

$3$ で割ります。

\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

\cos (x)

$\cos (x)$ を

1

$1$ で割ります。

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

x

$x$ を取り出します。

x = \arccos (\frac{1}{3})

$x = \arccos (\frac{1}{3})$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

\arccos (\frac{1}{3})

$\arccos (\frac{1}{3})$ の値を求めます。

x = 1.23095941

$x = 1.23095941$

x = 1.23095941

$x = 1.23095941$

ステップ 3.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、

2 π

$2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

x = 2 (3.14159265) - 1.23095941

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

ステップ 3.2.6

x

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

括弧を削除します。

x = 2 (3.14159265) - 1.23095941

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

ステップ 3.2.6.2

2 (3.14159265) - 1.23095941

$2 (3.14159265) - 1.23095941$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.2.1

2

$2$ に

3.14159265

$3.14159265$ をかけます。

x = 6.2831853 - 1.23095941

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

ステップ 3.2.6.2.2

6.2831853

$6.2831853$ から

1.23095941

$1.23095941$ を引きます。

x = 5.05222588

$x = 5.05222588$

x = 5.05222588

$x = 5.05222588$

x = 5.05222588

$x = 5.05222588$

ステップ 3.2.7

\cos (x)

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.7.1

関数の期間は

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.7.2

周期の公式の

b

$b$ を

1

$1$ で置き換えます。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

1

$1$ の間の距離は

1

$1$ です。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.7.4

2 π

$2 π$ を

1

$1$ で割ります。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

ステップ 3.2.8

\cos (x)

$\cos (x)$ 関数の周期が

2 π

$2 π$ なので、両方向で

2 π

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 4

\cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

\cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ が

0

$0$ に等しいとします。

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

ステップ 4.2

x

$x$ について

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺から

1

$1$ を引きます。

\cos (x) = - 1

$\cos (x) = - 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

x

$x$ を取り出します。

x = \arccos (- 1)

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

\arccos (- 1)

$\arccos (- 1)$ の厳密値は

π

$π$ です。

x = π

$x = π$

x = π

$x = π$

ステップ 4.2.4

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、

2 π

$2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

x = 2 π - π

$x = 2 π - π$

ステップ 4.2.5

2 π

$2 π$ から

π

$π$ を引きます。

x = π

$x = π$

ステップ 4.2.6

\cos (x)

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

関数の期間は

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の

b

$b$ を

1

$1$ で置き換えます。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

1

$1$ の間の距離は

1

$1$ です。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

2 π

$2 π$ を

1

$1$ で割ります。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

ステップ 4.2.7

\cos (x)

$\cos (x)$ 関数の周期が

2 π

$2 π$ なので、両方向で

2 π

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 5

最終解は

(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

問題を入力

三角関数 例

三角関数例