三角関数例

sin (5 x)

$\sin (5 x)$

ステップ 1

sin (5 x)

$\sin (5 x)$ を展開する方法は、ド・モアブルの定理

(r {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n} = r^{n} (cos (n x) + i \cdot sin (n x)))

$(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ を利用することです。

r = 1

$r = 1$ のとき、

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ です。

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

ステップ 2

2項定理を使って

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ の右辺を展開します。

展開：

{(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{5}

${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{5}$

ステップ 3

二項定理を利用します。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) (i sin (x)) + 10 {cos}^{3} (x) {(i sin (x))}^{2} + 10 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{3} + 5 cos (x) {(i sin (x))}^{4} + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) (i \sin (x)) + 10 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

積の法則を

i sin (x)

$i \sin (x)$ に当てはめます。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) i sin (x) + 10 {cos}^{3} (x) (i^{2} {sin}^{2} (x)) + 10 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{3} + 5 cos (x) {(i sin (x))}^{4} + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cos^{3} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) i sin (x) + 10 \cdot i^{2} {cos}^{3} (x) {sin}^{2} (x) + 10 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{3} + 5 cos (x) {(i sin (x))}^{4} + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cdot i^{2} \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.3

i^{2}

$i^{2}$ を

- 1

$- 1$ に書き換えます。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) i sin (x) + 10 \cdot - 1 {cos}^{3} (x) {sin}^{2} (x) + 10 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{3} + 5 cos (x) {(i sin (x))}^{4} + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cdot - 1 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.4

10

$10$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) i sin (x) - 10 {cos}^{3} (x) {sin}^{2} (x) + 10 {cos}^{2} (x) {(i sin (x))}^{3} + 5 cos (x) {(i sin (x))}^{4} + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.5

積の法則を

i sin (x)

$i \sin (x)$ に当てはめます。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) i sin (x) - 10 {cos}^{3} (x) {sin}^{2} (x) + 10 {cos}^{2} (x) (i^{3} {sin}^{3} (x)) + 5 cos (x) {(i sin (x))}^{4} + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) i sin (x) - 10 {cos}^{3} (x) {sin}^{2} (x) + 10 \cdot i^{3} {cos}^{2} (x) {sin}^{3} (x) + 5 cos (x) {(i sin (x))}^{4} + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot i^{3} \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.7

i^{2}

$i^{2}$ を因数分解します。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) i sin (x) - 10 {cos}^{3} (x) {sin}^{2} (x) + 10 \cdot (i^{2} \cdot i) {cos}^{2} (x) {sin}^{3} (x) + 5 cos (x) {(i sin (x))}^{4} + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (i^{2} \cdot i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.8

i^{2}

$i^{2}$ を

- 1

$- 1$ に書き換えます。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) i sin (x) - 10 {cos}^{3} (x) {sin}^{2} (x) + 10 \cdot (- 1 \cdot i) {cos}^{2} (x) {sin}^{3} (x) + 5 cos (x) {(i sin (x))}^{4} + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (- 1 \cdot i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.9

- 1 i

$- 1 i$ を

- i

$- i$ に書き換えます。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) i sin (x) - 10 {cos}^{3} (x) {sin}^{2} (x) + 10 \cdot (- i) {cos}^{2} (x) {sin}^{3} (x) + 5 cos (x) {(i sin (x))}^{4} + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (- i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.10

- 1

$- 1$ に

10

$10$ をかけます。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) i sin (x) - 10 {cos}^{3} (x) {sin}^{2} (x) - 10 i {cos}^{2} (x) {sin}^{3} (x) + 5 cos (x) {(i sin (x))}^{4} + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.11

積の法則を

i sin (x)

$i \sin (x)$ に当てはめます。

{cos}^{5} (x) + 5 {cos}^{4} (x) i sin (x) - 10 {cos}^{3} (x) {sin}^{2} (x) - 10 i {cos}^{2} (x) {sin}^{3} (x) + 5 cos (x) (i^{4} {sin}^{4} (x)) + {(i sin (x))}^{5}

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) (i^{4} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.12

$i^{4}$ を

$1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.12.1

$i^{4}$ を

${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) ({(i^{2})}^{2} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.12.2

$i^{2}$ を

$- 1$ に書き換えます。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) ({(- 1)}^{2} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.12.3

$- 1$ を

$2$ 乗します。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) (1 \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.13

$\sin^{4} (x)$ に

$1$ をかけます。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(i \sin (x))}^{5}$

ステップ 4.1.14

積の法則を

$i \sin (x)$ に当てはめます。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i^{5} \sin^{5} (x)$

ステップ 4.1.15

$i^{4}$ を因数分解します。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i^{4} i \sin^{5} (x)$

ステップ 4.1.16

$i^{4}$ を

$1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.16.1

$i^{4}$ を

${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(i^{2})}^{2} i \sin^{5} (x)$

ステップ 4.1.16.2

$i^{2}$ を

$- 1$ に書き換えます。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(- 1)}^{2} i \sin^{5} (x)$

ステップ 4.1.16.3

$- 1$ を

$2$ 乗します。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + 1 i \sin^{5} (x)$

ステップ 4.1.17

$i$ に

$1$ をかけます。

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$

ステップ 4.2

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$ の因数を並べ替えます。

$\cos^{5} (x) + 5 i \cos^{4} (x) \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$

ステップ 5

$\sin (5 x)$ と等しい虚数部をもつ式を取り出します。虚数

$i$ を削除します。

$\sin (5 x) = 5 \cos^{4} (x) \sin (x) - 10 \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + \sin^{5} (x)$

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三角関数 例

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