三角関数例

$32 + 32 i \sqrt{3}$ ,

$n = 3$

ステップ 1

公式

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して

$(a, b)$ から原点までの距離を計算します。

$r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

ステップ 2

$\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$32$ を

$2$ 乗します。

$r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

$32$ を

$\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 2.1.3

積の法則を

$32 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.1.4

$32$ を

$2$ 乗します。

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を

$3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{3}$ を

$3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

共通因数を約分します。

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.4.2

式を書き換えます。

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{1}}$

ステップ 2.2.5

指数を求めます。

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3}$

ステップ 2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$1024$ に

$3$ をかけます。

$r = \sqrt{1024 + 3072}$

ステップ 2.3.2

$1024$ と

$3072$ をたし算します。

$r = \sqrt{4096}$

ステップ 2.3.3

$4096$ を

$64^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{64^{2}}$

ステップ 2.3.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = 64$

ステップ 3

参照角

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ を計算します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

ステップ 4

$\arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

共通因数を約分します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

ステップ 4.1.2

$\sqrt{3}$ を

$1$ で割ります。

$θ̂ = \arctan (| \sqrt{3} |)$

ステップ 4.2

$\sqrt{3}$ は約

$1.7320508$ 。正の数なので絶対値を削除します

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 4.3

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は

$\frac{π}{3}$ です。

$θ̂ = \frac{π}{3}$

ステップ 5

象限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$32$ を

$\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$(32, 32 \sqrt{3})$

ステップ 5.2

$x$ と

$y$ が両方とも正なので、点は第一象限に位置します。象限は右上から反時計回りに名前が付けられます。

象限

$1$

象限

$1$

ステップ 6

$(a, b)$ は第一象限にあります。

$θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{3}$

ステップ 7

公式を利用して複素数の根を求めます。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

ステップ 8

$r$ 、

$n$ 、および

$θ$ を公式に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

${(64)}^{\frac{1}{3}}$ と

$\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π k}{3}$ をまとめます。

$c i s \frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$

ステップ 8.2

$c$ と

$\frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$ をまとめます。

$i s \frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$

ステップ 8.3

$i$ と

$\frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$ をまとめます。

$s \frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$

ステップ 8.4

$s$ と

$\frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$ をまとめます。

$\frac{s (i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

ステップ 8.5

括弧を削除します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

ステップ 8.5.2

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))))}{3}$

ステップ 8.5.3

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)))}{3}$

ステップ 8.5.4

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

ステップ 8.5.5

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

ステップ 8.5.6

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

ステップ 8.5.7

括弧を削除します。

$\frac{s (i c) \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

ステップ 8.5.8

括弧を削除します。

$\frac{s i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

ステップ 9

$k = 0$ を公式に代入し、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$64$ を

$4^{3}$ に書き換えます。

$k = 0 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

ステップ 9.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

ステップ 9.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

共通因数を約分します。

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

ステップ 9.3.2

式を書き換えます。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

ステップ 9.4

指数を求めます。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

ステップ 9.5

$2 π (0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$0$ に

$2$ をかけます。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0 π}{3})$

ステップ 9.5.2

$0$ に

$π$ をかけます。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0}{3})$

ステップ 9.6

$\frac{π}{3}$ と

$0$ をたし算します。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

ステップ 9.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 9.8

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.8.1

$\frac{π}{3}$ に

$\frac{1}{3}$ をかけます。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3 \cdot 3})$

ステップ 9.8.2

$3$ に

$3$ をかけます。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

ステップ 10

$k = 1$ を公式に代入し、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$64$ を

$4^{3}$ に書き換えます。

$k = 1 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

ステップ 10.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

ステップ 10.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

共通因数を約分します。

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

ステップ 10.3.2

式を書き換えます。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

ステップ 10.4

指数を求めます。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

ステップ 10.5

$2$ に

$1$ をかけます。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π}{3})$

ステップ 10.6

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{3}{3}$ を掛けます。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

ステップ 10.7

$2 π$ と

$\frac{3}{3}$ をまとめます。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{3})$

ステップ 10.8

公分母の分子をまとめます。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 3}{3}}{3})$

ステップ 10.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.1

$3$ に

$2$ をかけます。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 6 π}{3}}{3})$

ステップ 10.9.2

$π$ と

$6 π$ をたし算します。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{7 π}{3}}{3})$

ステップ 10.10

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 10.11

$\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.11.1

$\frac{7 π}{3}$ に

$\frac{1}{3}$ をかけます。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3 \cdot 3})$

ステップ 10.11.2

$3$ に

$3$ をかけます。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

ステップ 11

$k = 2$ を公式に代入し、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$64$ を

$4^{3}$ に書き換えます。

$k = 2 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

ステップ 11.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

ステップ 11.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

共通因数を約分します。

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

ステップ 11.3.2

式を書き換えます。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

ステップ 11.4

指数を求めます。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

ステップ 11.5

$2$ に

$2$ をかけます。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π}{3})$

ステップ 11.6

$4 π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{3}{3}$ を掛けます。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

ステップ 11.7

$4 π$ と

$\frac{3}{3}$ をまとめます。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}}{3})$

ステップ 11.8

公分母の分子をまとめます。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 3}{3}}{3})$

ステップ 11.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.9.1

$3$ に

$4$ をかけます。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{3}}{3})$

ステップ 11.9.2

$π$ と

$12 π$ をたし算します。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{13 π}{3}}{3})$

ステップ 11.10

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 11.11

$\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.11.1

$\frac{13 π}{3}$ に

$\frac{1}{3}$ をかけます。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3 \cdot 3})$

ステップ 11.11.2

$3$ に

$3$ をかけます。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

ステップ 12

解をまとめます。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

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