三角関数例

$16 \sqrt{3} + 16 i$ , $n = 4$

ステップ 1

公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して $(a, b)$ から原点までの距離を計算します。

$r = \sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$

ステップ 2

$\sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

積の法則を $16 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$r = \sqrt{16^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

ステップ 2.1.2

$16$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{256 {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

ステップ 2.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16^{2}}$

ステップ 2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16^{2}}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

ステップ 2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

共通因数を約分します。

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

式を書き換えます。

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{1} + 16^{2}}$

ステップ 2.2.5

指数を求めます。

$r = \sqrt{256 \cdot 3 + 16^{2}}$

ステップ 2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$256$ に $3$ をかけます。

$r = \sqrt{768 + 16^{2}}$

ステップ 2.3.2

$16$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{768 + 256}$

ステップ 2.3.3

$768$ と $256$ をたし算します。

$r = \sqrt{1024}$

ステップ 2.3.4

$1024$ を $32^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{32^{2}}$

ステップ 2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = 32$

ステップ 3

参照角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ を計算します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

ステップ 4

$\arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

共通因数を約分します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

ステップ 4.1.2

式を書き換えます。

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} |)$

ステップ 4.2

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |)$

ステップ 4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |)$

ステップ 4.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |)$

ステップ 4.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |)$

ステップ 4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |)$

ステップ 4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |)$

ステップ 4.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)$

ステップ 4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)$

ステップ 4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

ステップ 4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

ステップ 4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{1}} |)$

ステップ 4.3.6.5

指数を求めます。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3} |)$

ステップ 4.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ は約 $0.57735026$ 。正の数なので絶対値を削除します

$θ̂ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 4.5

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$θ̂ = \frac{π}{6}$

ステップ 5

$x$ と $y$ が両方とも正なので、点は第一象限に位置します。象限は右上から反時計回りに名前が付けられます。

象限 $1$

ステップ 6

$(a, b)$ は第一象限にあります。 $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{6}$

ステップ 7

公式を利用して複素数の根を求めます。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

ステップ 8

$r$ 、 $n$ 、および $θ$ を公式に代入します。

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ステップ 8.1

${(32)}^{\frac{1}{4}}$ と $\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π k}{4}$ をまとめます。

$c i s \frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$

ステップ 8.2

$c$ と $\frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$ をまとめます。

$i s \frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$

ステップ 8.3

$i$ と $\frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$ をまとめます。

$s \frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$

ステップ 8.4

$s$ と $\frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$ をまとめます。

$\frac{s (i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

ステップ 8.5

括弧を削除します。

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ステップ 8.5.1

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

ステップ 8.5.2

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))))}{4}$

ステップ 8.5.3

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)))}{4}$

ステップ 8.5.4

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

ステップ 8.5.5

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

ステップ 8.5.6

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

ステップ 8.5.7

括弧を削除します。

$\frac{s (i c) \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

ステップ 8.5.8

括弧を削除します。

$\frac{s i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

ステップ 9

$k = 0$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 9.1

括弧を削除します。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (0)}{4})$

ステップ 9.2

$2 π (0)$ を掛けます。

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ステップ 9.2.1

$0$ に $2$ をかけます。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0 π}{4})$

ステップ 9.2.2

$0$ に $π$ をかけます。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0}{4})$

ステップ 9.3

$\frac{π}{6}$ と $0$ をたし算します。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6}}{4})$

ステップ 9.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 9.5

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$\frac{π}{6}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6 \cdot 4})$

ステップ 9.5.2

$6$ に $4$ をかけます。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

ステップ 10

$k = 1$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 10.1

括弧を削除します。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (1)}{4})$

ステップ 10.2

$2$ に $1$ をかけます。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π}{4})$

ステップ 10.3

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

ステップ 10.4

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 6}{6}}{4})$

ステップ 10.5

公分母の分子をまとめます。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 6}{6}}{4})$

ステップ 10.6

分子を簡約します。

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ステップ 10.6.1

$6$ に $2$ をかけます。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{6}}{4})$

ステップ 10.6.2

$π$ と $12 π$ をたし算します。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{13 π}{6}}{4})$

ステップ 10.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 10.8

$\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.8.1

$\frac{13 π}{6}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6 \cdot 4})$

ステップ 10.8.2

$6$ に $4$ をかけます。

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

ステップ 11

$k = 2$ を公式に代入し、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

括弧を削除します。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (2)}{4})$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π}{4})$

ステップ 11.3

$4 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

ステップ 11.4

$4 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 6}{6}}{4})$

ステップ 11.5

公分母の分子をまとめます。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 6}{6}}{4})$

ステップ 11.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

$6$ に $4$ をかけます。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 24 π}{6}}{4})$

ステップ 11.6.2

$π$ と $24 π$ をたし算します。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{25 π}{6}}{4})$

ステップ 11.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 11.8

$\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.1

$\frac{25 π}{6}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6 \cdot 4})$

ステップ 11.8.2

$6$ に $4$ をかけます。

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

ステップ 12

$k = 3$ を公式に代入し、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

括弧を削除します。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (3)}{4})$

ステップ 12.2

$3$ に $2$ をかけます。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π}{4})$

ステップ 12.3

$6 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

ステップ 12.4

$6 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{6 π \cdot 6}{6}}{4})$

ステップ 12.5

公分母の分子をまとめます。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 6 π \cdot 6}{6}}{4})$

ステップ 12.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.1

$6$ に $6$ をかけます。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 36 π}{6}}{4})$

ステップ 12.6.2

$π$ と $36 π$ をたし算します。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{37 π}{6}}{4})$

ステップ 12.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 12.8

$\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.8.1

$\frac{37 π}{6}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6 \cdot 4})$

ステップ 12.8.2

$6$ に $4$ をかけます。

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

ステップ 13

解をまとめます。

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

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三角関数 例

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