例

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

ステップ 1

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0$

ステップ 2.1.2

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0$

ステップ 2.1.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

ステップ 2.1.4.2

$3$ を $2$ 乗します。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

ステップ 2.1.5

$9 x$ を $9 x^{2} + 27 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1

$9 x$ を $9 x^{2}$ で因数分解します。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0$

ステップ 2.1.5.2

$9 x$ を $27 x$ で因数分解します。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0$

ステップ 2.1.5.3

$9 x$ を $9 x (x) + 9 x (3)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

ステップ 2.1.6

$x + 3$ を $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.6.1

$x + 3$ を $9 x (x + 3)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0$

ステップ 2.1.6.2

$x + 3$ を $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

ステップ 2.1.7

$- 3 x$ と $9 x$ をたし算します。

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

ステップ 2.1.8

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.8.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.1.8.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 2.1.8.3

多項式を書き換えます。

$(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.1.8.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.4

最終解は $(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

$x = - 3$ （ $3$ の重複度）

ステップ 3

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