統計例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.4 \\ 7 & 0.3 \\ 9 & 0.2 \\ 10 & 0.1 \end{array}$

ステップ 1

与えられた表が確率分布に必要な2つの特性を満たすことを証明します。

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ステップ 1.1

離散型確率変数 $x$ は個別の値（ $0$ 、 $1$ 、 $2$ など）の集合をとります。その確率分布は、各可能な値 $x$ に確率 $P (x)$ を割り当てる。各 $x$ について、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間に含まれ、すべての可能な $x$ 値に対する確率の合計は $1$ に等しくなります。

1. 各 $x$ は、 $0 \leq P (x) \leq 1$ です。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

ステップ 1.2

$0.4$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.4$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.3

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.4

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.5

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.6

各 $x$ に対して、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間になり、確率分布の最初の特性を満たします。

$0 \leq P (x) \leq 1$ すべてのxの値

ステップ 1.7

すべての可能な $x$ 値について確率の和を求めます。

$0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1$

ステップ 1.8

すべての可能な $x$ 値について確率の和は $0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1$ です。

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ステップ 1.8.1

$0.4$ と $0.3$ をたし算します。

$0.7 + 0.2 + 0.1$

ステップ 1.8.2

$0.7$ と $0.2$ をたし算します。

$0.9 + 0.1$

ステップ 1.8.3

$0.9$ と $0.1$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.9

各 $x$ に対して、 $P (x)$ の確率は $0$ と $1$ の間になります。さらに、すべての可能な $x$ に対する確率の和は $1$ に等しいので、この表は確率分布の2つの特性を満たします。

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1$

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1$

ステップ 2

分布の期待平均は、分布の試行が無限に続く場合に期待される値です。これは、各値にその離散確率を掛けたものに等しいです。

$3 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

$3$ に $0.4$ をかけます。

$1.2 + 7 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1$

ステップ 3.2

$7$ に $0.3$ をかけます。

$1.2 + 2.1 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1$

ステップ 3.3

$9$ に $0.2$ をかけます。

$1.2 + 2.1 + 1.8 + 10 \cdot 0.1$

ステップ 3.4

$10$ に $0.1$ をかけます。

$1.2 + 2.1 + 1.8 + 1$

ステップ 4

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$1.2$ と $2.1$ をたし算します。

$3.3 + 1.8 + 1$

ステップ 4.2

$3.3$ と $1.8$ をたし算します。

$5.1 + 1$

ステップ 4.3

$5.1$ と $1$ をたし算します。

$6.1$

ステップ 5

分布の標準偏差は、分散を測定するもので、分散の平方根に等しいです。

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

ステップ 6

既知数を記入します。

$\sqrt{{(3 - (6.1))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $6.1$ をかけます。

$\sqrt{{(3 - 6.1)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.2

$3$ から $6.1$ を引きます。

$\sqrt{{(- 3.1)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.3

$- 3.1$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9.61 \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.4

$9.61$ に $0.4$ をかけます。

$\sqrt{3.844 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.5

$- 1$ に $6.1$ をかけます。

$\sqrt{3.844 + {(7 - 6.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.6

$7$ から $6.1$ を引きます。

$\sqrt{3.844 + {0.9}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.7

$0.9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{3.844 + 0.81 \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.8

$0.81$ に $0.3$ をかけます。

$\sqrt{3.844 + 0.243 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.9

$- 1$ に $6.1$ をかけます。

$\sqrt{3.844 + 0.243 + {(9 - 6.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.10

$9$ から $6.1$ を引きます。

$\sqrt{3.844 + 0.243 + {2.9}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.11

$2.9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 8.41 \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.12

$8.41$ に $0.2$ をかけます。

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.13

$- 1$ に $6.1$ をかけます。

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {(10 - 6.1)}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.14

$10$ から $6.1$ を引きます。

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {3.9}^{2} \cdot 0.1}$

ステップ 7.15

$3.9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + 15.21 \cdot 0.1}$

ステップ 7.16

$15.21$ に $0.1$ をかけます。

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + 1.521}$

ステップ 7.17

$3.844$ と $0.243$ をたし算します。

$\sqrt{4.087 + 1.682 + 1.521}$

ステップ 7.18

$4.087$ と $1.682$ をたし算します。

$\sqrt{5.769 + 1.521}$

ステップ 7.19

$5.769$ と $1.521$ をたし算します。

$\sqrt{7.29}$

ステップ 7.20

$7.29$ を ${2.7}^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{2.7}^{2}}$

ステップ 7.21

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2.7$

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