微分積分学準備例

$(2, 4)$ , $(- 4, 9)$

ステップ 1

2つのベクトル間の角を求めるには、ドット積の公式を使用します。

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

ドット積を求めます。

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ステップ 2.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + 4 \cdot 9$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$2$ に $- 4$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 4 \cdot 9$

ステップ 2.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 36$

ステップ 2.2.2

$- 8$ と $36$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = 28$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

ステップ 3.2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

ステップ 3.2.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{20}$

ステップ 3.2.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

ステップ 3.2.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

ステップ 3.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$| a⃗ | = 2 \sqrt{5}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 9^{2}}$

ステップ 4.2.2

$9$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 81}$

ステップ 4.2.3

$16$ と $81$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{97}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{28}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$28$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

$2$ を $28$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$2$ を $2 \sqrt{5} \sqrt{97}$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 (\sqrt{5} \sqrt{97})})$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 (\sqrt{5} \sqrt{97})})$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{5} \sqrt{97}})$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{5 \cdot 97}})$

ステップ 6.2.2

$5$ に $97$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{485}})$

ステップ 6.3

$\frac{14}{\sqrt{485}}$ に $\frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{485}} \cdot \frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}})$

ステップ 6.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.4.1

$\frac{14}{\sqrt{485}}$ に $\frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{\sqrt{485} \sqrt{485}})$

ステップ 6.4.2

$\sqrt{485}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1} \sqrt{485}})$

ステップ 6.4.3

$\sqrt{485}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1} {\sqrt{485}}^{1}})$

ステップ 6.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{2}})$

ステップ 6.4.6

${\sqrt{485}}^{2}$ を $485$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{485}$ を $485^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{(485^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{1}})$

ステップ 6.4.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485})$

ステップ 6.5

$\arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485})$ の値を求めます。

$θ = 50.52754015$

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