微分積分学準備例

$(6, 8)$ , $(2, 4)$

ステップ 1

2つのベクトル間の角を求めるには、ドット積の公式を使用します。

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

ドット積を求めます。

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ステップ 2.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$6$ に $2$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4$

ステップ 2.2.1.2

$8$ に $4$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

ステップ 2.2.2

$12$ と $32$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$6$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}$

ステップ 3.2.2

$8$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}$

ステップ 3.2.3

$36$ と $64$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{100}$

ステップ 3.2.4

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

ステップ 3.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| a⃗ | = 10$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

ステップ 4.2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

ステップ 4.2.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

ステップ 4.2.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

ステップ 4.2.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

ステップ 4.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$44$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

$2$ を $44$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$2$ を $10 (2 \sqrt{5})$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

ステップ 6.2

$22$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $22$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ を $5 (2 \sqrt{5})$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

ステップ 6.3

$\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

ステップ 6.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.4.1

$\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})$

ステップ 6.4.2

$\sqrt{5}$ を移動させます。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

ステップ 6.4.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

ステップ 6.4.4

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

ステップ 6.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})$

ステップ 6.4.7

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.4.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.7.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.7.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

ステップ 6.4.7.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

ステップ 6.5

$5$ に $5$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

ステップ 6.6

$\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ の値を求めます。

$θ = 10.30484646$

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