微分積分学準備例

$(- 7, 7)$ , $(3, 9)$

ステップ 1

2つのベクトル間の角を求めるには、ドット積の公式を使用します。

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

ドット積を求めます。

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ステップ 2.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 7 \cdot 3 + 7 \cdot 9$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 7$ に $3$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 21 + 7 \cdot 9$

ステップ 2.2.1.2

$7$ に $9$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 21 + 63$

ステップ 2.2.2

$- 21$ と $63$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = 42$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 7^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 7^{2}}$

ステップ 3.2.2

$7$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 49}$

ステップ 3.2.3

$49$ と $49$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{98}$

ステップ 3.2.4

$98$ を $7^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.1

$49$ を $98$ で因数分解します。

$| a⃗ | = \sqrt{49 (2)}$

ステップ 3.2.4.2

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

ステップ 3.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$| a⃗ | = 7 \sqrt{2}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + 9^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 9^{2}}$

ステップ 4.2.2

$9$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 81}$

ステップ 4.2.3

$9$ と $81$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

ステップ 4.2.4

$90$ を $3^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.4.1

$9$ を $90$ で因数分解します。

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

ステップ 4.2.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

ステップ 4.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{42}{7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$42$ と $7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

$7$ を $42$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$7$ を $7 \sqrt{2} (3 \sqrt{10})$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 (\sqrt{2} (3 \sqrt{10}))})$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{7 \cdot 6}{7 (\sqrt{2} (3 \sqrt{10}))})$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

ステップ 6.2

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{\sqrt{2} (3 \sqrt{10})})$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$3$ を $\sqrt{2} (3 \sqrt{10})$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2} (\sqrt{10})})$

ステップ 6.3

分母を簡約します。

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ステップ 6.3.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

ステップ 6.3.2

$2$ に $10$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{20}})$

ステップ 6.4

分母を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.1.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{4 (5)}})$

ステップ 6.4.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

ステップ 6.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{5}})$

ステップ 6.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{2}{2 \sqrt{5}})$

ステップ 6.5.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{5}})$

ステップ 6.6

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

ステップ 6.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.7.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

ステップ 6.7.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

ステップ 6.7.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

ステップ 6.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

ステップ 6.7.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 6.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.7.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

ステップ 6.7.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{5}}{5})$

ステップ 6.8

$\arccos (\frac{\sqrt{5}}{5})$ の値を求めます。

$θ = 63.43494882$

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