微分積分学準備例

$f (x) = 4 \sec (4 x)$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

任意の $y = \sec (x)$ について、垂直漸近線が $x = \frac{π}{2} + n π$ で発生します。ここで $n$ は整数です。 $y = s e c (x)$ の基本周期 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ を使って、 $y = 4 \sec (4 x)$ の垂直漸近線を求めます。 $y = a \sec (b x + c) + d$ の正割関数の内側 $b x + c$ を $- \frac{π}{2}$ と等しくし、 $y = 4 \sec (4 x)$ の垂直漸近線が発生する場所を求めます。

$4 x = - \frac{π}{2}$

ステップ 1.2

$4 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

ステップ 1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 1.2.3.2

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.3.2.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = - \frac{π}{8}$

ステップ 1.3

正割関数 $4 x$ の中を $\frac{3 π}{2}$ と等しくします。

$4 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.4

$4 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.4.1

$4 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

ステップ 1.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

ステップ 1.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

ステップ 1.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 1.4.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.4.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{8}$

ステップ 1.5

$y = 4 \sec (4 x)$ の基本周期は $(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$ で発生し、ここで $- \frac{π}{8}$ と $\frac{3 π}{8}$ は垂直漸近線です。

$(- \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8})$

ステップ 1.6

周期 $\frac{2 π}{| b |}$ を求め、垂直漸近線が存在する場所を求めます。垂直漸近線は半周期ごとに発生します。

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ステップ 1.6.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{2 π}{4}$

ステップ 1.6.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (π)}{4}$

ステップ 1.6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 1.7

$y = 4 \sec (4 x)$ の垂直漸近線は $- \frac{π}{8}$ 、 $\frac{3 π}{8}$ 、およびすべての $\frac{π n}{4}$ で発生し、ここで $n$ は整数です。これは期間の半分です。

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$

ステップ 1.8

正割のみに垂直漸近線があります。

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$

ステップ 2

式 $a \sec (b x - c) + d$ を利用して振幅、周期、位相シフト、垂直偏移を求めるための変数を求めます。

$a = 4$

$b = 4$

$c = 0$

$d = 0$

ステップ 3

関数 $s e c$ のグラフに最大値や最小値がないので、偏角の値はありません。

偏角：なし

ステップ 4

$4 \sec (4 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2

周期の公式の $b$ を $4$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

ステップ 4.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{2 π}{4}$

ステップ 4.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (π)}{4}$

ステップ 4.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 5

公式 $\frac{c}{b}$ を利用して位相シフトを求めます。

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ステップ 5.1

関数の位相シフトは $\frac{c}{b}$ から求めることができます。

位相シフト： $\frac{c}{b}$

ステップ 5.2

位相シフトの方程式の $c$ と $b$ の値を置き換えます。

位相シフト： $\frac{0}{4}$

ステップ 5.3

$0$ を $4$ で割ります。

位相シフト： $0$

ステップ 6

三角関数の特性を記載します。

偏角：なし

周期： $\frac{π}{2}$

位相シフト：なし

垂直偏移：なし

ステップ 7

偏角、周期、位相シフト、垂直偏移、および点を使用して三角関数をグラフに描くことができます。

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$

偏角：なし

周期： $\frac{π}{2}$

位相シフト：なし

垂直偏移：なし

ステップ 8

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