微分積分学準備例

$x^{2} - y = 2$ , $2 x - y = - 1$

ステップ 1

$x^{2} - y = 2$ の $y$ について解きます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- y = 2 - x^{2}$

$2 x - y = - 1$

ステップ 1.2

$- y = 2 - x^{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.1

$- y = 2 - x^{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$2 x - y = - 1$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$2 x - y = - 1$

ステップ 1.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$2 x - y = - 1$

$y = \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$2 x - y = - 1$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$y = - 2 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

$2 x - y = - 1$

ステップ 1.2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = - 2 + \frac{x^{2}}{1}$

$2 x - y = - 1$

ステップ 1.2.3.1.3

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x - y = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x - y = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x - y = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x - y = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x - y = - 1$

ステップ 2

各方程式の $y$ のすべての発生を $- 2 + x^{2}$ で置き換えます。

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ステップ 2.1

$2 x - y = - 1$ の $y$ のすべての発生を $- 2 + x^{2}$ で置き換えます。

$2 x - (- 2 + x^{2}) = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3

$2 x + 2 - x^{2} = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x + 2 - x^{2} + 1 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ を $2 x - x^{2} + 3$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1.1

$2 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.3.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.3.1.3

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.3.1.4

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.3.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.3.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.3.2

因数分解。

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ステップ 3.3.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.3.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

$y = - 2 + x^{2}$

$x = 3$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$x = - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 3.7

最終解は $- (x - 3) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

$x = 3, - 1$

$y = - 2 + x^{2}$

ステップ 4

各方程式の $x$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

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ステップ 4.1

$y = - 2 + x^{2}$ の $x$ のすべての発生を $3$ で置き換えます。

$y = - 2 + {(3)}^{2}$

$x = 3$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2 + {(3)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$y = - 2 + 9$

$x = 3$

ステップ 4.2.1.2

$- 2$ と $9$ をたし算します。

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

$y = 7$

$x = 3$

ステップ 5

各方程式の $x$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

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ステップ 5.1

$y = - 2 + x^{2}$ の $x$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$y = - 2 + {(- 1)}^{2}$

$x = - 1$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 2 + {(- 1)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = - 2 + 1$

$x = - 1$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

ステップ 6

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(3, 7)$

$(- 1, - 1)$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

点の形：

$(3, 7), (- 1, - 1)$

方程式の形：

$x = 3, y = 7$

$x = - 1, y = - 1$

ステップ 8

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