微分積分学準備例

8

$8$ ,

2

$2$ ,

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

ステップ 1

各項の間に公比があるので、これは等比数列です。この場合、数列の前の項に

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ を掛けると、次の項が得られます。言い換えると、

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ です。

等比数列：

r = \frac{1}{4}

$r = \frac{1}{4}$

ステップ 2

S_{n}

$S_{n}$ の級数の和は

S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ の公式を利用して求めます。無限等比級数

S_{\infty}

$S_{\infty}$ の和は、

n

$n$ が

\infty

$\infty$ に近づくと、

1 - r^{n}

$1 - r^{n}$ は

1

$1$ に近づきます。したがって、

\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ は

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ に近づきます。

S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

ステップ 3

a = 8

$a = 8$ と

r = \frac{1}{4}

$r = \frac{1}{4}$ の値は

S_{\infty}

$S_{\infty}$ の方程式に入れることができます。

S_{\infty} = \frac{8}{1 - \frac{1}{4}}

$S_{\infty} = \frac{8}{1 - \frac{1}{4}}$

ステップ 4

方程式を簡約し、

S_{\infty}

$S_{\infty}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

S_{\infty} = \frac{8}{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

ステップ 4.1.2

公分母の分子をまとめます。

S_{\infty} = \frac{8}{\frac{4 - 1}{4}}

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{4 - 1}{4}}$

ステップ 4.1.3

4

$4$ から

1

$1$ を引きます。

S_{\infty} = \frac{8}{\frac{3}{4}}

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{3}{4}}$

S_{\infty} = \frac{8}{\frac{3}{4}}

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{3}{4}}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

S_{\infty} = 8 (\frac{4}{3})

$S_{\infty} = 8 (\frac{4}{3})$

ステップ 4.3

8 (\frac{4}{3})

$8 (\frac{4}{3})$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

8

$8$ と

\frac{4}{3}

$\frac{4}{3}$ をまとめます。

S_{\infty} = \frac{8 \cdot 4}{3}

$S_{\infty} = \frac{8 \cdot 4}{3}$

ステップ 4.3.2

8

$8$ に

4

$4$ をかけます。

S_{\infty} = \frac{32}{3}

$S_{\infty} = \frac{32}{3}$

S_{\infty} = \frac{32}{3}

$S_{\infty} = \frac{32}{3}$

S_{\infty} = \frac{32}{3}

$S_{\infty} = \frac{32}{3}$

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