微分積分学準備例

135

$135$ ,

45

$45$ ,

15

$15$

ステップ 1

各項の間に公比があるので、これは等比数列です。この場合、数列の前の項に

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ を掛けると、次の項が得られます。言い換えると、

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ です。

等比数列：

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$

ステップ 2

等比数列の形です。

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

ステップ 3

a_{1} = 135

$a_{1} = 135$ と

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$ の値に代入します。

a_{n} = 135 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}

$a_{n} = 135 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

ステップ 4

積の法則を

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ に当てはめます。

a_{n} = 135 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}

$a_{n} = 135 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

ステップ 5

1のすべての数の累乗は1です。

a_{n} = 135 \frac{1}{3^{n - 1}}

$a_{n} = 135 \frac{1}{3^{n - 1}}$

ステップ 6

135

$135$ と

\frac{1}{3^{n - 1}}

$\frac{1}{3^{n - 1}}$ をまとめます。

a_{n} = \frac{135}{3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{135}{3^{n - 1}}$

ステップ 7

等比数列の1番目

n

$n$ 項の和を求める公式です。値を求めるには、

r

$r$ と

a_{1}

$a_{1}$ の値を求めます。

S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

ステップ 8

変数を既知の値で置き換え、

S_{5}

$S_{5}$ を求めます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

積の法則を

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ に当てはめます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.2

1のすべての数の累乗は1です。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.3

3

$3$ を

5

$5$ 乗します。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.4

- 1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{243}{243}

$\frac{243}{243}$ を掛けます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.5

- 1

$- 1$ と

\frac{243}{243}

$\frac{243}{243}$ をまとめます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.6

公分母の分子をまとめます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.1

- 1

$- 1$ に

243

$243$ をかけます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.7.2

1

$1$ から

243

$243$ を引きます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 9.8

分数の前に負数を移動させます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

ステップ 10

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

- 1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ を掛けます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 10.2

- 1

$- 1$ と

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ をまとめます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 10.3

公分母の分子をまとめます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 10.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

- 1

$- 1$ に

3

$3$ をかけます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

ステップ 10.4.2

1

$1$ から

3

$3$ を引きます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

ステップ 10.5

分数の前に負数を移動させます。

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}$

ステップ 11

2つの負の値を割ると正の値になります。

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

ステップ 12

分子に分母の逆数を掛けます。

S_{5} = 135 \cdot (\frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2})

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2})$

ステップ 13

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

2

$2$ を

242

$242$ で因数分解します。

S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 (121)}{243} \cdot \frac{3}{2})

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 (121)}{243} \cdot \frac{3}{2})$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 \cdot 121}{243} \cdot \frac{3}{2})$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{243} \cdot 3)$

ステップ 14

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$3$ を

$243$ で因数分解します。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 (81)} \cdot 3)$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 \cdot 81} \cdot 3)$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$S_{5} = 135 \cdot \frac{121}{81}$

ステップ 15

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$27$ を

$135$ で因数分解します。

$S_{5} = 27 (5) \cdot \frac{121}{81}$

ステップ 15.2

$27$ を

$81$ で因数分解します。

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

ステップ 15.3

共通因数を約分します。

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

ステップ 15.4

式を書き換えます。

$S_{5} = 5 \cdot \frac{121}{3}$

ステップ 16

$5$ と

$\frac{121}{3}$ をまとめます。

$S_{5} = \frac{5 \cdot 121}{3}$

ステップ 17

$5$ に

$121$ をかけます。

$S_{5} = \frac{605}{3}$

ステップ 18

分数を小数に変換します。

$S_{5} = 201.\overline{6}$

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