微分積分学準備例

\frac{2 x + 6}{x} < 1

$\frac{2 x + 6}{x} < 1$

ステップ 1

不等式の両辺から

1

$1$ を引きます。

\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0

$\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0$

ステップ 2

\frac{2 x + 6}{x} - 1

$\frac{2 x + 6}{x} - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1

2

$2$ を

2 x + 6

$2 x + 6$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

2

$2$ を

2 x

$2 x$ で因数分解します。

\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0$

ステップ 2.1.2

2

$2$ を

6

$6$ で因数分解します。

\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0$

ステップ 2.1.3

2

$2$ を

2 x + 2 \cdot 3

$2 x + 2 \cdot 3$ で因数分解します。

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

ステップ 2.2

- 1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ を掛けます。

\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0$

ステップ 2.3

- 1

$- 1$ と

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ をまとめます。

\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0

$\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0$

ステップ 2.5.2

2

$2$ に

3

$3$ をかけます。

\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0

$\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0$

ステップ 2.5.3

2 x

$2 x$ から

x

$x$ を引きます。

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

\frac{x + 6}{x} < 0

$\frac{x + 6}{x} < 0$

ステップ 3

各因数を

0

$0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

x = 0

$x = 0$

x + 6 = 0

$x + 6 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から

6

$6$ を引きます。

x = - 6

$x = - 6$

ステップ 5

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

x = 0

$x = 0$

x = - 6

$x = - 6$

ステップ 6

解をまとめます。

x = 0, - 6

$x = 0, - 6$

ステップ 7

\frac{x + 6}{x}

$\frac{x + 6}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 7.1

\frac{x + 6}{x}

$\frac{x + 6}{x}$ の分母を

0

$0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

x = 0

$x = 0$

ステップ 7.2

定義域は式が定義になる

x

$x$ のすべての値です。

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

x < - 6

$x < - 6$

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

x > 0

$x > 0$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間

x < - 6

$x < - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間

x < - 6

$x < - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = - 8

$x = - 8$

ステップ 9.1.2

x

$x$ を元の不等式の

- 8

$- 8$ で置き換えます。

\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1

$\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1$

ステップ 9.1.3

左辺

1.25

$1.25$ は右辺

1

$1$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.2

区間

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = - 3

$x = - 3$

ステップ 9.2.2

x

$x$ を元の不等式の

- 3

$- 3$ で置き換えます。

\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1

$\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1$

ステップ 9.2.3

左辺

0

$0$ は右辺

1

$1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.3

区間

x > 0

$x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間

x > 0

$x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = 2

$x = 2$

ステップ 9.3.2

x

$x$ を元の不等式の

2

$2$ で置き換えます。

\frac{2 (2) + 6}{2} < 1

$\frac{2 (2) + 6}{2} < 1$

ステップ 9.3.3

左辺

5

$5$ は右辺

1

$1$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

x < - 6

$x < - 6$ 偽

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ 真

x > 0

$x > 0$ 偽

x < - 6

$x < - 6$ 偽

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$ 真

x > 0

$x > 0$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

- 6 < x < 0

$- 6 < x < 0$

区間記号：

(- 6, 0)

$(- 6, 0)$

ステップ 12

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