微分積分学準備例

x^{2} - 4 x - 12 < 0

$x^{2} - 4 x - 12 < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

x^{2} - 4 x - 12 = 0

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して

x^{2} - 4 x - 12

$x^{2} - 4 x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

c

$c$ で和が

b

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

- 12

$- 12$ で、その和が

- 4

$- 4$ です。

- 6, 2

$- 6, 2$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

(x - 6) (x + 2) = 0

$(x - 6) (x + 2) = 0$

(x - 6) (x + 2) = 0

$(x - 6) (x + 2) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

x - 6 = 0

$x - 6 = 0$

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

ステップ 4

x - 6

$x - 6$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

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ステップ 4.1

x - 6

$x - 6$ が

0

$0$ に等しいとします。

x - 6 = 0

$x - 6 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に

6

$6$ を足します。

x = 6

$x = 6$

x = 6

$x = 6$

ステップ 5

x + 2

$x + 2$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

x + 2

$x + 2$ が

0

$0$ に等しいとします。

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から

2

$2$ を引きます。

x = - 2

$x = - 2$

x = - 2

$x = - 2$

ステップ 6

最終解は

(x - 6) (x + 2) = 0

$(x - 6) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

x = 6, - 2

$x = 6, - 2$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

x < - 2

$x < - 2$

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$

x > 6

$x > 6$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

区間

x < - 2

$x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

区間

x < - 2

$x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = - 4

$x = - 4$

ステップ 8.1.2

x

$x$ を元の不等式の

- 4

$- 4$ で置き換えます。

{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 12 < 0

${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 - 12 < 0$

ステップ 8.1.3

左辺

20

$20$ は右辺

0

$0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.2

区間

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = 0

$x = 0$

ステップ 8.2.2

x

$x$ を元の不等式の

0

$0$ で置き換えます。

{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 12 < 0

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 12 < 0$

ステップ 8.2.3

左辺

- 12

$- 12$ は右辺

0

$0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.3

区間

x > 6

$x > 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間

x > 6

$x > 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = 8

$x = 8$

ステップ 8.3.2

x

$x$ を元の不等式の

8

$8$ で置き換えます。

{(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 12 < 0

${(8)}^{2} - 4 \cdot 8 - 12 < 0$

ステップ 8.3.3

左辺

20

$20$ は右辺

0

$0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

x < - 2

$x < - 2$ 偽

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ 真

x > 6

$x > 6$ 偽

x < - 2

$x < - 2$ 偽

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$ 真

x > 6

$x > 6$ 偽

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

- 2 < x < 6

$- 2 < x < 6$

区間記号：

(- 2, 6)

$(- 2, 6)$

ステップ 11

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