微分積分学準備例

y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

ステップ 1

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ が

0

$0$ に等しいとします。

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0$

ステップ 2

x

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0

$x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0$

ステップ 2.1.2

27

$27$ を

3^{3}

$3^{3}$ に書き換えます。

x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0

$x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0$

ステップ 2.1.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、

a = x

$a = x$ であり、

b = 3

$b = 3$ です。

(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

3

$3$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

ステップ 2.1.4.2

3

$3$ を

2

$2$ 乗します。

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

ステップ 2.1.5

9 x

$9 x$ を

9 x^{2} + 27 x

$9 x^{2} + 27 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1

9 x

$9 x$ を

9 x^{2}

$9 x^{2}$ で因数分解します。

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0$

ステップ 2.1.5.2

9 x

$9 x$ を

27 x

$27 x$ で因数分解します。

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0$

ステップ 2.1.5.3

9 x

$9 x$ を

9 x (x) + 9 x (3)

$9 x (x) + 9 x (3)$ で因数分解します。

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

ステップ 2.1.6

x + 3

$x + 3$ を

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.6.1

x + 3

$x + 3$ を

9 x (x + 3)

$9 x (x + 3)$ で因数分解します。

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0$

ステップ 2.1.6.2

x + 3

$x + 3$ を

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)$ で因数分解します。

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

ステップ 2.1.7

- 3 x

$- 3 x$ と

9 x

$9 x$ をたし算します。

(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

ステップ 2.1.8

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1.8.1

9

$9$ を

3^{2}

$3^{2}$ に書き換えます。

(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.1.8.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

6 x = 2 \cdot x \cdot 3

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 2.1.8.3

多項式を書き換えます。

(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0

$(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 2.1.8.4

a = x

$a = x$ と

b = 3

$b = 3$ ならば、完全平方3項式

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

{(x + 3)}^{2} = 0

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

x + 3

$x + 3$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

x + 3

$x + 3$ が

0

$0$ に等しいとします。

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺から

3

$3$ を引きます。

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

ステップ 2.4

最終解は

(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。根の重複度は根が出現する回数です。

x = - 3

$x = - 3$ （

3

$3$ の重複度）

x = - 3

$x = - 3$ （

3

$3$ の重複度）

ステップ 3

問題を入力

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