微分積分学準備例

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

ステップ 1

行列を下三角行列と上三角行列の積で書きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

ステップ 2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 2.1

2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は $2 \times 2$ 、第二の行列は $2 \times 2$ です。

ステップ 2.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1 u_{11} + 0 \cdot 0 & 1 u_{12} + 0 u_{22} \\ l_{21} u_{11} + 1 \cdot 0 & l_{21} u_{12} + 1 u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

ステップ 2.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

ステップ 3

解きます。

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ステップ 3.1

一次連立方程式で書きます。

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{11} = 2$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

ステップ 3.2

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.2.1

各方程式の $u_{11}$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1.1

$l_{21} u_{11} = 2$ の $u_{11}$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$l_{21} \cdot 1 = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

ステップ 3.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.2.1

$l_{21}$ に $1$ をかけます。

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

ステップ 3.2.2

各方程式の $l_{21}$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.2.1

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$ の $l_{21}$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$2 \cdot u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$2$ に $u_{12}$ をかけます。

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

ステップ 3.2.3

各方程式の $u_{12}$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.3.1

$2 u_{12} + u_{22} = 3$ の $u_{12}$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$2 (- 1) + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

ステップ 3.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

ステップ 3.2.4

$u_{22}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.2.4.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$u_{22} = 3 + 2$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

ステップ 3.2.4.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

ステップ 3.2.5

連立方程式を解きます。

$u_{22} = 5 l_{21} = 2 u_{11} = 1 u_{12} = - 1$

ステップ 3.2.6

すべての解をまとめます。

$u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1$

ステップ 4

解いた値に代入します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 5 \end{array}]$

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