微分積分学準備例

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 5 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}]$

ステップ 1

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} - 2 - 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{array}]$

ステップ 2

各要素を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 2$ から $4$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 + 0 \\ - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{array}]$

ステップ 2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 5 + 2 & - 4 + 2 \end{array}]$

ステップ 2.3

$- 5$ と $2$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 3 & - 4 + 2 \end{array}]$

ステップ 2.4

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 3 & - 2 \end{array}]$

ステップ 3

$2 \times 2$ 行列の逆行列は公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、 $a d - b c$ は行列式です。

ステップ 4

行列式を求めます。

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ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 6 \cdot - 2 - (- 3 \cdot 0)$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 6$ に $- 2$ をかけます。

$12 - (- 3 \cdot 0)$

ステップ 4.2.1.2

$- (- 3 \cdot 0)$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.2.1

$- 3$ に $0$ をかけます。

$12 - 0$

ステップ 4.2.1.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$12 + 0$

ステップ 4.2.2

$12$ と $0$ をたし算します。

$12$

ステップ 5

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 6

既知の値を逆数の公式に代入します。

$\frac{1}{12} [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 3 & - 6 \end{array}]$

ステップ 7

$\frac{1}{12}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{12} \cdot - 2 & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 8.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (6)} \cdot - 2 & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8.1.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8.1.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} \cdot - 1 & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8.2

$\frac{1}{6}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6} & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8.3

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & \frac{1}{12} \cdot 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8.4

$\frac{1}{12}$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{12} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{3 (4)} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8.5.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{3 \cdot 4} \cdot 3 & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8.5.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{12} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8.6

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.6.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6 (2)} \cdot - 6 \end{array}]$

ステップ 8.6.2

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1) \end{array}]$

ステップ 8.6.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1) \end{array}]$

ステップ 8.6.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \cdot - 1 \end{array}]$

ステップ 8.7

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{- 1}{2} \end{array}]$

ステップ 8.8

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} & 0 \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} \end{array}]$

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