微分積分学準備例

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 0 & 2 & 1 & 4 2 & 1 & 2 & 3 2 & 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

1

$1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + & - - & + & - & + + & - & + & - - & + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element

a_{21}

$a_{21}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element

a_{31}

$a_{31}$ by its cofactor.

2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.9

The minor for

a_{41}

$a_{41}$ is the determinant with row

4

$4$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.10

Multiply element

a_{41}

$a_{41}$ by its cofactor.

- 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.11

Add the terms together.

1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

ステップ 2

0

$0$ に

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$ をかけます。

1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

3

$3$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

ステップ 3.1.3

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.1.4

Multiply element

a_{31}

$a_{31}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.1.5

The minor for

a_{32}

$a_{32}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.1.6

Multiply element

a_{32}

$a_{32}$ by its cofactor.

- 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.1.7

The minor for

a_{33}

$a_{33}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 3.1.8

Multiply element

a_{33}

$a_{33}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 3.1.9

Add the terms together.

1 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

ステップ 3.2

0

$0$ に

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 1 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ をかけます。

1 (1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.3

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 4 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

1 (1 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

3

$3$ に

1

$1$ をかけます。

1 (1 (3 - 2 \cdot 4) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 (3 - 2 \cdot 4) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.3.2.1.2

- 2

$- 2$ に

4

$4$ をかけます。

1 (1 (3 - 8) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 (3 - 8) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 (1 (3 - 8) - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

ステップ 3.3.2.2

3

$3$ から

8

$8$ を引きます。

1 (1 \cdot - 5 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 (1 \cdot - 5 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

1 (1 \cdot - 5 - 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

ステップ 3.4

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 4 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

1 (1 \cdot - 5 - 1 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 4) + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 4) + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

2

$2$ に

3

$3$ をかけます。

1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 1 \cdot 4) + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 1 \cdot 4) + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.4.2.1.2

- 1

$- 1$ に

4

$4$ をかけます。

1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 4) + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 4) + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 4) + 0) + 0 + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$1 (1 \cdot - 5 - 1 (6 - 4) + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.4.2.2

$6$ から

$4$ を引きます。

$1 (1 \cdot - 5 - 1 \cdot 2 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$- 5$ に

$1$ をかけます。

$1 (- 5 - 1 \cdot 2 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.5.1.2

$- 1$ に

$2$ をかけます。

$1 (- 5 - 2 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.5.2

$- 5$ から

$2$ を引きます。

$1 (- 7 + 0) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 3.5.3

$- 7$ と

$0$ をたし算します。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$3$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

ステップ 4.1.3

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$

ステップ 4.1.4

Multiply element

$a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$

ステップ 4.1.5

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 4.1.6

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 4.1.7

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 4.1.8

Multiply element

$a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 4.1.9

Add the terms together.

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.2

$0$ に

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.3

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 (2 \cdot 4 - 1 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$2$ に

$4$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 (8 - 1 \cdot 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ に

$3$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 (8 - 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.3.2.2

$8$ から

$3$ を引きます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.4

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 (1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

$4$ に

$1$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 (4 - 2 \cdot 3) + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.4.2.1.2

$- 2$ に

$3$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 (4 - 6) + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.4.2.2

$4$ から

$6$ を引きます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (1 \cdot 5 - 1 \cdot - 2 + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

$5$ に

$1$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (5 - 1 \cdot - 2 + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.5.1.2

$- 1$ に

$- 2$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (5 + 2 + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.5.2

$5$ と

$2$ をたし算します。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 (7 + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 4.5.3

$7$ と

$0$ をたし算します。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 5

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

ステップ 5.2

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

ステップ 5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$3$ に

$1$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 (3 - 2 \cdot 4) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

ステップ 5.2.2.1.2

$- 2$ に

$4$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 (3 - 8) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

ステップ 5.2.2.2

$3$ から

$8$ を引きます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

ステップ 5.3

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 (2 \cdot 3 - 1 \cdot 4) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

ステップ 5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$2$ に

$3$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 (6 - 1 \cdot 4) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

ステップ 5.3.2.1.2

$- 1$ に

$4$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 (6 - 4) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

ステップ 5.3.2.2

$6$ から

$4$ を引きます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 (2 \cdot 2 - 1 \cdot 1))$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$2$ に

$2$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 (4 - 1 \cdot 1))$

ステップ 5.4.2.1.2

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 (4 - 1))$

ステップ 5.4.2.2

$4$ から

$1$ を引きます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (1 \cdot - 5 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3)$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$- 5$ に

$1$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (- 5 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3)$

ステップ 5.5.1.2

$- 2$ に

$2$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (- 5 - 4 + 3 \cdot 3)$

ステップ 5.5.1.3

$3$ に

$3$ をかけます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (- 5 - 4 + 9)$

ステップ 5.5.2

$- 5$ から

$4$ を引きます。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 (- 9 + 9)$

ステップ 5.5.3

$- 9$ と

$9$ をたし算します。

$1 \cdot - 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0$

ステップ 6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 7$ に

$1$ をかけます。

$- 7 + 0 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0$

ステップ 6.1.2

$2$ に

$7$ をかけます。

$- 7 + 0 + 14 - 2 \cdot 0$

ステップ 6.1.3

$- 2$ に

$0$ をかけます。

$- 7 + 0 + 14 + 0$

ステップ 6.2

$- 7$ と

$0$ をたし算します。

$- 7 + 14 + 0$

ステップ 6.3

$- 7$ と

$14$ をたし算します。

$7 + 0$

ステップ 6.4

$7$ と

$0$ をたし算します。

$7$

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