微分積分学準備例

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

ステップ 1

該当する符号図を考慮します。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

ステップ 2

符号図と与えられた行列を利用して、各要素の余因数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

要素

a_{11}

$a_{11}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

a_{11}

$a_{11}$ の小行列式は、行

1

$1$ と列

1

$1$ を削除した行列式です。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 6 8 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |$

ステップ 2.1.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6

$a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6$

ステップ 2.1.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1.1

5

$5$ に

9

$9$ をかけます。

a_{11} = 45 - 8 \cdot 6

$a_{11} = 45 - 8 \cdot 6$

ステップ 2.1.2.2.1.2

- 8

$- 8$ に

6

$6$ をかけます。

a_{11} = 45 - 48

$a_{11} = 45 - 48$

a_{11} = 45 - 48

$a_{11} = 45 - 48$

ステップ 2.1.2.2.2

45

$45$ から

48

$48$ を引きます。

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

a_{11} = - 3

$a_{11} = - 3$

ステップ 2.2

要素

a_{12}

$a_{12}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

a_{12}

$a_{12}$ の小行列式は、行

1

$1$ と列

2

$2$ を削除した行列式です。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 6 7 & 9 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |$

ステップ 2.2.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6$

ステップ 2.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

$4$ に

$9$ をかけます。

$a_{12} = 36 - 7 \cdot 6$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$- 7$ に

$6$ をかけます。

$a_{12} = 36 - 42$

ステップ 2.2.2.2.2

$36$ から

$42$ を引きます。

$a_{12} = - 6$

ステップ 2.3

要素

$a_{13}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a_{13}$ の小行列式は、行

$1$ と列

$3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 2.3.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5$

ステップ 2.3.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.1

$4$ に

$8$ をかけます。

$a_{13} = 32 - 7 \cdot 5$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$- 7$ に

$5$ をかけます。

$a_{13} = 32 - 35$

ステップ 2.3.2.2.2

$32$ から

$35$ を引きます。

$a_{13} = - 3$

ステップ 2.4

要素

$a_{21}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$a_{21}$ の小行列式は、行

$2$ と列

$1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |$

ステップ 2.4.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3$

ステップ 2.4.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

$2$ に

$9$ をかけます。

$a_{21} = 18 - 8 \cdot 3$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$- 8$ に

$3$ をかけます。

$a_{21} = 18 - 24$

ステップ 2.4.2.2.2

$18$ から

$24$ を引きます。

$a_{21} = - 6$

ステップ 2.5

要素

$a_{22}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$a_{22}$ の小行列式は、行

$2$ と列

$2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} |$

ステップ 2.5.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3$

ステップ 2.5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1.1

$9$ に

$1$ をかけます。

$a_{22} = 9 - 7 \cdot 3$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$- 7$ に

$3$ をかけます。

$a_{22} = 9 - 21$

ステップ 2.5.2.2.2

$9$ から

$21$ を引きます。

$a_{22} = - 12$

ステップ 2.6

要素

$a_{23}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$a_{23}$ の小行列式は、行

$2$ と列

$3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} |$

ステップ 2.6.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2$

ステップ 2.6.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.1

$8$ に

$1$ をかけます。

$a_{23} = 8 - 7 \cdot 2$

ステップ 2.6.2.2.1.2

$- 7$ に

$2$ をかけます。

$a_{23} = 8 - 14$

ステップ 2.6.2.2.2

$8$ から

$14$ を引きます。

$a_{23} = - 6$

ステップ 2.7

要素

$a_{31}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$a_{31}$ の小行列式は、行

$3$ と列

$1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} |$

ステップ 2.7.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3$

ステップ 2.7.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1.1

$2$ に

$6$ をかけます。

$a_{31} = 12 - 5 \cdot 3$

ステップ 2.7.2.2.1.2

$- 5$ に

$3$ をかけます。

$a_{31} = 12 - 15$

ステップ 2.7.2.2.2

$12$ から

$15$ を引きます。

$a_{31} = - 3$

ステップ 2.8

要素

$a_{32}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$a_{32}$ の小行列式は、行

$3$ と列

$2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |$

ステップ 2.8.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3$

ステップ 2.8.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.2.1.1

$6$ に

$1$ をかけます。

$a_{32} = 6 - 4 \cdot 3$

ステップ 2.8.2.2.1.2

$- 4$ に

$3$ をかけます。

$a_{32} = 6 - 12$

ステップ 2.8.2.2.2

$6$ から

$12$ を引きます。

$a_{32} = - 6$

ステップ 2.9

要素

$a_{33}$ の小行列式を計算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$a_{33}$ の小行列式は、行

$3$ と列

$3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} |$

ステップ 2.9.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2$

ステップ 2.9.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.2.1.1

$5$ に

$1$ をかけます。

$a_{33} = 5 - 4 \cdot 2$

ステップ 2.9.2.2.1.2

$- 4$ に

$2$ をかけます。

$a_{33} = 5 - 8$

ステップ 2.9.2.2.2

$5$ から

$8$ を引きます。

$a_{33} = - 3$

ステップ 2.10

余因子行列は符号図の

$-$ 位置にある要素の符号を変更した小行列式の行列です。

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

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