微分積分学準備例

\frac{4 x + 5}{x} > 3

$\frac{4 x + 5}{x} > 3$

ステップ 1

不等式の両辺から

3

$3$ を引きます。

\frac{4 x + 5}{x} - 3 > 0

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 > 0$

ステップ 2

\frac{4 x + 5}{x} - 3

$\frac{4 x + 5}{x} - 3$ を簡約します。

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ステップ 2.1

- 3

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ を掛けます。

\frac{4 x + 5}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x} > 0

$\frac{4 x + 5}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x} > 0$

ステップ 2.2

- 3

$- 3$ と

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ をまとめます。

\frac{4 x + 5}{x} + \frac{- 3 x}{x} > 0

$\frac{4 x + 5}{x} + \frac{- 3 x}{x} > 0$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

\frac{4 x + 5 - 3 x}{x} > 0

$\frac{4 x + 5 - 3 x}{x} > 0$

ステップ 2.4

4 x

$4 x$ から

3 x

$3 x$ を引きます。

\frac{x + 5}{x} > 0

$\frac{x + 5}{x} > 0$

\frac{x + 5}{x} > 0

$\frac{x + 5}{x} > 0$

ステップ 3

各因数を

0

$0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

x = 0

$x = 0$

x + 5 = 0

$x + 5 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から

5

$5$ を引きます。

x = - 5

$x = - 5$

ステップ 5

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

x = 0

$x = 0$

x = - 5

$x = - 5$

ステップ 6

解をまとめます。

x = 0, - 5

$x = 0, - 5$

ステップ 7

\frac{x + 5}{x}

$\frac{x + 5}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 7.1

\frac{x + 5}{x}

$\frac{x + 5}{x}$ の分母を

0

$0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

x = 0

$x = 0$

ステップ 7.2

定義域は式が定義になる

x

$x$ のすべての値です。

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

x < - 5

$x < - 5$

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$

x > 0

$x > 0$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間

x < - 5

$x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間

x < - 5

$x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = - 8

$x = - 8$

ステップ 9.1.2

x

$x$ を元の不等式の

- 8

$- 8$ で置き換えます。

\frac{4 (- 8) + 5}{- 8} > 3

$\frac{4 (- 8) + 5}{- 8} > 3$

ステップ 9.1.3

左辺

3.375

$3.375$ は右辺

3

$3$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.2

区間

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = - 2

$x = - 2$

ステップ 9.2.2

x

$x$ を元の不等式の

- 2

$- 2$ で置き換えます。

\frac{4 (- 2) + 5}{- 2} > 3

$\frac{4 (- 2) + 5}{- 2} > 3$

ステップ 9.2.3

左辺

1.5

$1.5$ は右辺

3

$3$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.3

区間

x > 0

$x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間

x > 0

$x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = 2

$x = 2$

ステップ 9.3.2

x

$x$ を元の不等式の

2

$2$ で置き換えます。

\frac{4 (2) + 5}{2} > 3

$\frac{4 (2) + 5}{2} > 3$

ステップ 9.3.3

左辺

6.5

$6.5$ は右辺

3

$3$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

x < - 5

$x < - 5$ 真

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ 偽

x > 0

$x > 0$ 真

x < - 5

$x < - 5$ 真

- 5 < x < 0

$- 5 < x < 0$ 偽

x > 0

$x > 0$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

x < - 5

$x < - 5$ または

x > 0

$x > 0$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

x < - 5 or x > 0

$x < - 5 or x > 0$

区間記号：

(- \infty, - 5) \cup (0, \infty)

$(- \infty, - 5) \cup (0, \infty)$

ステップ 12

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