微分積分学準備例

$x^{2} + 10 x - 24 < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 10 x - 24 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 10 x - 24$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 24$ で、その和が $10$ です。

$- 2, 12$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 12) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 12 = 0$

ステップ 4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5

$x + 12$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 12$ が $0$ に等しいとします。

$x + 12 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$x = - 12$

ステップ 6

最終解は $(x - 2) (x + 12) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 12$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 12$

$- 12 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - 12$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - 12$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 14$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 14$ で置き換えます。

${(- 14)}^{2} + 10 (- 14) - 24 < 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $32$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.2

区間 $- 12 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- 12 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} + 10 (0) - 24 < 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $- 24$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 8.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{2} + 10 (4) - 24 < 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $32$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 12$ 偽

$- 12 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < - 12$ 偽

$- 12 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$- 12 < x < 2$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$- 12 < x < 2$

区間記号：

$(- 12, 2)$

ステップ 11

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