微分積分学準備例

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4$

ステップ 1

二次関数の最小値は

$x = - \frac{b}{2 a}$ で発生します。

$a$ が正の場合、関数の最小値は

$f (- \frac{b}{2 a})$ です。

$f_{最小}$

$x = a x^{2} + b x + c$ は

$x = - \frac{b}{2 a}$ で生じます

ステップ 2

$x = - \frac{b}{2 a}$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$a$ と

$b$ の値に代入します。

$x = - \frac{3}{2 (2)}$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$x = - \frac{3}{2 (2)}$

ステップ 2.3

$2$ に

$2$ をかけます。

$x = - \frac{3}{4}$

ステップ 3

$f (- \frac{3}{4})$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数

$x$ を

$- \frac{3}{4}$ で置換えます。

$f (- \frac{3}{4}) = 2 {(- \frac{3}{4})}^{2} + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

べき乗則

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.2.1.1.1

積の法則を

$- \frac{3}{4}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

ステップ 3.2.1.1.2

積の法則を

$\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ を

$2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

ステップ 3.2.1.3

$\frac{3^{2}}{4^{2}}$ に

$1$ をかけます。

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

ステップ 3.2.1.4

$3$ を

$2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

ステップ 3.2.1.5

$4$ を

$2$ 乗します。

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{16}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

ステップ 3.2.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.6.1

$2$ を

$16$ で因数分解します。

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 (8)}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

ステップ 3.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 8}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

ステップ 3.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

ステップ 3.2.1.7

$3 (- \frac{3}{4})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.7.1

$- 1$ に

$3$ をかけます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - 3 (\frac{3}{4}) - 4$

ステップ 3.2.1.7.2

$- 3$ と

$\frac{3}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 3 \cdot 3}{4} - 4$

ステップ 3.2.1.7.3

$- 3$ に

$3$ をかけます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} - 4$

ステップ 3.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 4$

ステップ 3.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{9}{4}$ に

$\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{9}{4}$ に

$\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 4$

ステップ 3.2.2.3

$- 4$ を分母

$1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

ステップ 3.2.2.4

$\frac{- 4}{1}$ に

$\frac{8}{8}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 3.2.2.5

$\frac{- 4}{1}$ に

$\frac{8}{8}$ をかけます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.2.6

$4 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.2.7

$2$ に

$4$ をかけます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 4 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$- 9$ に

$2$ をかけます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 4 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.4.2

$- 4$ に

$8$ をかけます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 32}{8}$

ステップ 3.2.5

式を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

$9$ から

$18$ を引きます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 32}{8}$

ステップ 3.2.5.2

$- 9$ から

$32$ を引きます。

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 41}{8}$

ステップ 3.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{41}{8}$

ステップ 3.2.6

最終的な答えは

$- \frac{41}{8}$ です。

$- \frac{41}{8}$

ステップ 4

$x$ 値と

$y$ 値を利用し、最小値が発生する場所を求めます。

$(- \frac{3}{4}, - \frac{41}{8})$

ステップ 5

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