微分積分学準備例

$f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1$

ステップ 1

二次関数の最小値は $x = - \frac{b}{2 a}$ で発生します。 $a$ が正の場合、関数の最小値は $f (- \frac{b}{2 a})$ です。

$f_{最小}$ $x = a x^{2} + b x + c$ は $x = - \frac{b}{2 a}$ で生じます

ステップ 2

$x = - \frac{b}{2 a}$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$a$ と $b$ の値に代入します。

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

ステップ 2.3

$- \frac{- 5}{2 (5)}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 5$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

ステップ 2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$5$ を $2 \cdot 5$ で因数分解します。

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

ステップ 2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

ステップ 2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = - \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.3

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = 1 (\frac{1}{2})$

ステップ 2.3.3.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 3

$f (\frac{1}{2})$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{2}) = 5 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 3.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 3.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 3.2.1.4

$5$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

ステップ 3.2.1.5

$- 5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{- 5}{2} + 1$

ステップ 3.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1$

ステップ 3.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{5}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{5}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1$

ステップ 3.2.2.3

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

ステップ 3.2.2.4

$\frac{1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.2.2.5

$\frac{1}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{4}$

ステップ 3.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}$

ステップ 3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 5 \cdot 2 + 4}{4}$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$- 5$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 10 + 4}{4}$

ステップ 3.2.4.2

$5$ から $10$ を引きます。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}$

ステップ 3.2.4.3

$- 5$ と $4$ をたし算します。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

ステップ 3.2.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

ステップ 3.2.5

最終的な答えは $- \frac{1}{4}$ です。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 4

$x$ 値と $y$ 値を利用し、最小値が発生する場所を求めます。

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

ステップ 5

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