微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4$

ステップ 1

式 $\frac{1}{10^{x}} + 4$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

ステップ 3.1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.1.2.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

ステップ 3.1.1.2.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

ステップ 3.1.1.2.2

関数 $10^{x}$ が $\infty$ に近づくので、関数は正の定数 $4$ 倍 $\infty$ に近づきます。

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ステップ 3.1.1.2.2.1

定数の倍数 $4$ を削除した極限を考えます。

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

ステップ 3.1.1.2.2.2

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $10^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

ステップ 3.1.1.2.3

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

ステップ 3.1.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $10^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

ステップ 3.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

ステップ 3.1.3.2

総和則では、 $1 + 4 \cdot 10^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

ステップ 3.1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

ステップ 3.1.3.4

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.4.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \cdot 10^{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [10^{x}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

ステップ 3.1.3.4.2

$a$ = $10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

ステップ 3.1.3.5

$0$ と $4 \cdot 10^{x} \ln (10)$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

ステップ 3.1.3.6

$a$ = $10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

ステップ 3.1.4

約分します。

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ステップ 3.1.4.1

$10^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

ステップ 3.1.4.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

ステップ 3.1.4.2

$\ln (10)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

ステップ 3.1.4.2.2

$4$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} 4$

ステップ 3.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$4$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 4$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = 4$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

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