微分積分学準備例

$f (x) = x^{2} - 3$

ステップ 1

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3$

ステップ 2

$x = 3$ のとき、組立除法を $\frac{x^{2} - 3}{x - 3}$ に当てはめます。

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ステップ 2.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$3$	$1$	$0$	$- 3$

ステップ 2.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$3$	$1$	$0$	$- 3$

	$1$

ステップ 2.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$
	$1$

ステップ 2.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$
	$1$	$3$

ステップ 2.5

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(9)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

ステップ 2.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$6$

ステップ 2.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(1) x + 3 + \frac{6}{x - 3}$

ステップ 2.8

商の多項式を簡約します。

$x + 3 + \frac{6}{x - 3}$

ステップ 3

$3 > 0$ と組立除法の最終行の符号のすべてが正なので、 $3$ は関数の実根の上界です。

上界： $3$

ステップ 4

$x = - 3$ のとき、組立除法を $\frac{x^{2} - 3}{x + 3}$ に当てはめます。

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ステップ 4.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$

ステップ 4.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$

	$1$

ステップ 4.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 3)$ を掛け、 $(- 3)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$
	$1$

ステップ 4.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$
	$1$	$- 3$

ステップ 4.5

結果 $(- 3)$ の最新の項目に除数 $(- 3)$ を掛け、 $(9)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$	$9$
	$1$	$- 3$

ステップ 4.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$	$9$
	$1$	$- 3$	$6$

ステップ 4.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(1) x - 3 + \frac{6}{x + 3}$

ステップ 4.8

商の多項式を簡約します。

$x - 3 + \frac{6}{x + 3}$

ステップ 5

$- 3 < 0$ と組立除法の最終行は符号を変えるので、 $- 3$ は関数の実根の下界です。

下界： $- 3$

ステップ 6

上界と下界を判定します。

上界： $3$

下界： $- 3$

ステップ 7

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