微分積分学準備例

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ,

x - 1

$x - 1$

ステップ 1

組立除法を利用して

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ を除算し、余りが

0

$0$ に等しいか確認します。余りが

0

$0$ に等しいならば、

x - 1

$x - 1$ は

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ の因数です。余りが

0

$0$ に等しくないならば、

x - 1

$x - 1$ は

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ の因数ではありません。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

ステップ 1.2

被除数

(1)

$(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

	$1$ $1$

ステップ 1.3

結果

(1)

$(1)$ の最新の項目に除数

(1)

$(1)$ を掛け、

(1)

$(1)$ の結果を被除数

(- 2)

$(- 2)$ の隣の項の下に置きます。

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

ステップ 1.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

ステップ 1.5

結果

(- 1)

$(- 1)$ の最新の項目に除数

(1)

$(1)$ を掛け、

(- 1)

$(- 1)$ の結果を被除数

(- 10)

$(- 10)$ の隣の項の下に置きます。

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

ステップ 1.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

ステップ 1.7

結果

(- 11)

$(- 11)$ の最新の項目に除数

(1)

$(1)$ を掛け、

(- 11)

$(- 11)$ の結果を被除数

(7)

$(7)$ の隣の項の下に置きます。

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

ステップ 1.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

ステップ 1.9

結果

(- 4)

$(- 4)$ の最新の項目に除数

(1)

$(1)$ を掛け、

(- 4)

$(- 4)$ の結果を被除数

(4)

$(4)$ の隣の項の下に置きます。

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

ステップ 1.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$	$0$ $0$

ステップ 1.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4$

ステップ 1.12

商の多項式を簡約します。

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

ステップ 2

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ を割った余りは

0

$0$ です。つまり、

x - 1

$x - 1$ は

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ の因数です。

x - 1

$x - 1$ は

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ の因数です

ステップ 3

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ の可能な根をすべて求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ の形をもち、

p

$p$ は定数の因数、

q

$q$ は首位係数の因数です。

p = \pm 1, \pm 2, \pm 4

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

ステップ 3.2

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

\pm 1, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

\pm 1, \pm 2, \pm 4

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

ステップ 4

次の除算を設定し、

x - 4

$x - 4$ が多項式

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ の因数か判定します。

\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

ステップ 5

組立除法を利用して式を割り、多項式の因数か判定します。

x - 4

$x - 4$ が

x^{3} - x^{2} - 11 x - 4

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ を割り切ることができるので、

x - 4

$x - 4$ は多項式の因数で、

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ の多項式が残ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

ステップ 5.2

被除数

(1)

$(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

	$1$ $1$

ステップ 5.3

結果

(1)

$(1)$ の最新の項目に除数

(4)

$(4)$ を掛け、

(4)

$(4)$ の結果を被除数

(- 1)

$(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$

ステップ 5.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$

ステップ 5.5

結果

(3)

$(3)$ の最新の項目に除数

(4)

$(4)$ を掛け、

(12)

$(12)$ の結果を被除数

(- 11)

$(- 11)$ の隣の項の下に置きます。

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$
	$1$ $1$	$3$ $3$

ステップ 5.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

ステップ 5.7

結果

(1)

$(1)$ の最新の項目に除数

(4)

$(4)$ を掛け、

(4)

$(4)$ の結果を被除数

(- 4)

$(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$	$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

ステップ 5.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
		$4$ $4$	$12$ $12$	$4$ $4$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$

ステップ 5.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

1 x^{2} + 3 x + 1

$1 x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 5.10

商の多項式を簡約します。

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 6

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ の可能な根をすべて求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ の形をもち、

p

$p$ は定数の因数、

q

$q$ は首位係数の因数です。

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

ステップ 6.2

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

ステップ 7

最終的な因数は、組立除法で残った唯一の因数です。

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 8

因数分解した多項式は

(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$ です。

(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$

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