微分積分学準備例

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ , $x - 4$

ステップ 1

組立除法を利用して $\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}$ を除算し、余りが $0$ に等しいか確認します。余りが $0$ に等しいならば、 $x - 4$ は $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ の因数です。余りが $0$ に等しくないならば、 $x - 4$ は $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ の因数ではありません。

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ステップ 1.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

ステップ 1.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

	$1$

ステップ 1.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(4)$ の結果を被除数 $(- 2)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$
	$1$

ステップ 1.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$
	$1$	$2$

ステップ 1.5

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(8)$ の結果を被除数 $(- 10)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$
	$1$	$2$

ステップ 1.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$
	$1$	$2$	$- 2$

ステップ 1.7

結果 $(- 2)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(- 8)$ の結果を被除数 $(7)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$	$- 8$
	$1$	$2$	$- 2$

ステップ 1.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$	$- 8$
	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$

ステップ 1.9

結果 $(- 1)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(- 4)$ の結果を被除数 $(4)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$	$- 8$	$- 4$
	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$

ステップ 1.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$4$	$8$	$- 8$	$- 4$
	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$	$0$

ステップ 1.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 2) x - 1$

ステップ 1.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$

ステップ 2

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}$ を割った余りは $0$ です。つまり、 $x - 4$ は $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ の因数です。

$x - 4$ は $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ の因数です

ステップ 3

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ の可能な根をすべて求めます。

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ステップ 3.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

ステップ 3.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1$

ステップ 4

次の除算を設定し、 $x - 1$ が多項式 $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ の因数か判定します。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1}{x - 1}$

ステップ 5

組立除法を利用して式を割り、多項式の因数か判定します。 $x - 1$ が $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ を割り切ることができるので、 $x - 1$ は多項式の因数で、 $x^{2} + 3 x + 1$ の多項式が残ります。

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ステップ 5.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$

ステップ 5.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$

	$1$

ステップ 5.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(2)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$
	$1$

ステップ 5.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$
	$1$	$3$

ステップ 5.5

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(- 2)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$	$3$
	$1$	$3$

ステップ 5.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$	$3$
	$1$	$3$	$1$

ステップ 5.7

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$	$3$	$1$
	$1$	$3$	$1$

ステップ 5.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$2$	$- 2$	$- 1$
		$1$	$3$	$1$
	$1$	$3$	$1$	$0$

ステップ 5.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 5.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 6

$x^{2} + 3 x + 1$ の可能な根をすべて求めます。

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ステップ 6.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

ステップ 6.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1$

ステップ 7

最終的な因数は、組立除法で残った唯一の因数です。

$x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 8

因数分解した多項式は $(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)$ です。

$(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)$

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