微分積分学準備例

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$

ステップ 1

有理根検定を用いて

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ の形をもち、

p

$p$ は定数の因数、

q

$q$ は首位係数の因数です。

p = \pm 1, \pm 9, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

ステップ 1.2

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

\pm 1, \pm 9, \pm 3

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

ステップ 1.3

3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は

0

$0$ に等しいので、

3

$3$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

3

$3$ を多項式に代入します。

3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9

$3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

ステップ 1.3.2

3

$3$ を

3

$3$ 乗します。

27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 6 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 - 9$

ステップ 1.3.3

3

$3$ を

2

$2$ 乗します。

27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 9$

ステップ 1.3.4

- 6

$- 6$ に

9

$9$ をかけます。

27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9

$27 - 54 + 12 \cdot 3 - 9$

ステップ 1.3.5

27

$27$ から

54

$54$ を引きます。

- 27 + 12 \cdot 3 - 9

$- 27 + 12 \cdot 3 - 9$

ステップ 1.3.6

12

$12$ に

3

$3$ をかけます。

- 27 + 36 - 9

$- 27 + 36 - 9$

ステップ 1.3.7

- 27

$- 27$ と

36

$36$ をたし算します。

9 - 9

$9 - 9$

ステップ 1.3.8

9

$9$ から

9

$9$ を引きます。

0

$0$

0

$0$

ステップ 1.4

3

$3$ は既知の根なので、多項式を

x - 3

$x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9}{x - 3}$

ステップ 1.5

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ を

x - 3

$x - 3$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、

0

$0$ の値の項を挿入します。

x

$x$

3

$3$

x^{3}

$x^{3}$

6 x^{2}

$6 x^{2}$

12 x

$12 x$

9

$9$

ステップ 1.5.2

被除数

x^{3}

$x^{3}$ の最高次項を除数

x

$x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、

x^{3} - 3 x^{2}

$x^{3} - 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

ステップ 1.5.7

被除数

- 3 x^{2}

$- 3 x^{2}$ の最高次項を除数

x

$x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$9 x$ $9 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、

- 3 x^{2} + 9 x

$- 3 x^{2} + 9 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

ステップ 1.5.12

被除数

3 x

$3 x$ の最高次項を除数

x

$x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、

3 x - 9

$3 x - 9$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							-	$3 x$ $3 x$	+	$9$ $9$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$ $x^{2}$	-	$3 x$ $3 x$	+	$3$ $3$
$x$ $x$	-	$3$ $3$		$x^{3}$ $x^{3}$	-	$6 x^{2}$ $6 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$	-	$9$ $9$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	+	$12 x$ $12 x$
					+	$3 x^{2}$ $3 x^{2}$	-	$9 x$ $9 x$
							+	$3 x$ $3 x$	-	$9$ $9$
							-	$3 x$ $3 x$	+	$9$ $9$
										$0$ $0$

ステップ 1.5.16

Since the remainder is

0

$0$ , the final answer is the quotient.

x^{2} - 3 x + 3

$x^{2} - 3 x + 3$

x^{2} - 3 x + 3

$x^{2} - 3 x + 3$

ステップ 1.6

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 9$ を因数の集合として書き換えます。

(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)

$(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)$

(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)

$(x - 3) (x^{2} - 3 x + 3)$

ステップ 2

多項式が因数分解できるので、素数ではありません。

素数ではありません

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