微分積分学準備例

x^{2} + 4 y^{2} = 16

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を

16

$16$ で割り、右辺を1と等しくします。

\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を

1

$1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が

1

$1$ に等しいことが必要です。

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数

a

$a$ は楕円の長軸の半径を、

b

$b$ は楕円の短軸の半径を、

h

$h$ は原点からのx補正値を、

k

$k$ は原点からのy補正値を表します。

a = 4

$a = 4$

b = 2

$b = 2$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は

(h, k)

$(h, k)$ の形に従います。

h

$h$ と

k

$k$ の値に代入します。

(0, 0)

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離

c

$c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式に代入します。

\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

4

$4$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{16 - {(2)}^{2}}

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

2

$2$ を

2

$2$ 乗します。

\sqrt{16 - 1 \cdot 4}

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

ステップ 5.3.3

- 1

$- 1$ に

4

$4$ をかけます。

\sqrt{16 - 4}

$\sqrt{16 - 4}$

ステップ 5.3.4

16

$16$ から

4

$4$ を引きます。

\sqrt{12}

$\sqrt{12}$

ステップ 5.3.5

12

$12$ を

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

4

$4$ を

12

$12$ で因数分解します。

\sqrt{4 (3)}

$\sqrt{4 (3)}$

ステップ 5.3.5.2

4

$4$ を

2^{2}

$2^{2}$ に書き換えます。

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

ステップ 5.3.6

累乗根の下から項を取り出します。

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、

a

$a$ を

h

$h$ に加えることで求められます。

(h + a, k)

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

h

$h$ と

a

$a$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入します。

(0 + 4, 0)

$(0 + 4, 0)$

ステップ 6.3

簡約します。

(4, 0)

$(4, 0)$

ステップ 6.4

楕円の2番目の交点は、

h

$h$ から

a

$a$ を引くことで求められます。

(h - a, k)

$(h - a, k)$

ステップ 6.5

h

$h$ と

a

$a$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入します。

(0 - (4), 0)

$(0 - (4), 0)$

ステップ 6.6

簡約します。

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、

c

$c$ を

h

$h$ に加えることで求められます。

(h + c, k)

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

h

$h$ と

c

$c$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入します。

(0 + 2 \sqrt{3}, 0)

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

ステップ 7.3

簡約します。

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

ステップ 7.4

楕円の2番目の焦点は、

h

$h$ から

c

$c$ を引くことで求められます。

(h - c, k)

$(h - c, k)$

ステップ 7.5

h

$h$ と

c

$c$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入します。

(0 - (2 \sqrt{3}), 0)

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

ステップ 7.6

簡約します。

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式に代入します。

\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

4

$4$ を

2

$2$ 乗します。

\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

ステップ 8.3.1.2

2

$2$ を

2

$2$ 乗します。

\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

ステップ 8.3.1.3

- 1

$- 1$ に

4

$4$ をかけます。

\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

ステップ 8.3.1.4

16

$16$ から

4

$4$ を引きます。

\frac{\sqrt{12}}{4}

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

ステップ 8.3.1.5

12

$12$ を

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.5.1

4

$4$ を

12

$12$ で因数分解します。

\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

ステップ 8.3.1.5.2

4

$4$ を

2^{2}

$2^{2}$ に書き換えます。

\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

ステップ 8.3.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

ステップ 8.3.2

2

$2$ と

4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

2

$2$ を

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$ で因数分解します。

\frac{2 (\sqrt{3})}{4}

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.2.1

2

$2$ を

4

$4$ で因数分解します。

\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2.3

式を書き換えます。

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心：

(0, 0)

$(0, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

偏心：

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

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