微分積分学準備例

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$

ステップ 2

$3 x^{2} - 6 x$ の平方完成。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 3$

$b = - 6$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 3}{3}$

ステップ 2.3.2.2

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

ステップ 2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

ステップ 2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 2.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - \frac{36}{12}$

ステップ 2.4.2.1.3

$36$ を $12$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 3$

ステップ 2.4.2.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$e = 0 - 3$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$e = - 3$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ に代入します。

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

ステップ 3

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$ を方程式 $3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ の中の $3 x^{2} - 6 x$ に代入します。

$3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5$

ステップ 4

両辺に $3$ を加えて、 $- 3$ を方程式の右辺に移動させます。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3$

ステップ 5

$4 y^{2} + 8 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 5.3.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{16}$

ステップ 5.4.2.1.3

$64$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ に代入します。

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

ステップ 6

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$ を方程式 $3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ の中の $4 y^{2} + 8 y$ に代入します。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3$

ステップ 7

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4$

ステップ 8

$5 + 3 + 4$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$5$ と $3$ をたし算します。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 8 + 4$

ステップ 8.2

$8$ と $4$ をたし算します。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12$

ステップ 9

各項を $12$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

ステップ 10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

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