微分積分学準備例

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 98 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $98$ を足します。

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$

ステップ 2

$x^{2} + 2 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 2.4.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 2.4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - 1$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$e = - 1$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + 1)}^{2} - 1$ に代入します。

${(x + 1)}^{2} - 1$

ステップ 3

${(x + 1)}^{2} - 1$ を方程式 $x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$ の中の $x^{2} + 2 x$ に代入します。

${(x + 1)}^{2} - 1 - 9 y^{2} - 54 y = 98$

ステップ 4

両辺に $1$ を加えて、 $- 1$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} - 54 y = 98 + 1$

ステップ 5

$- 9 y^{2} - 54 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 9$

$b = - 54$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 54}{2 \cdot - 9}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 54$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$2$ を $- 54$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (- 9)}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot - 9}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 27}{- 9}$

ステップ 5.3.2.2

$- 27$ と $- 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$- 9$ を $- 27$ で因数分解します。

$d = \frac{- 9 (3)}{- 9}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.1

$- 9$ を $- 9$ で因数分解します。

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{1}$

ステップ 5.3.2.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$d = 3$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$- 54$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot - 9}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $- 9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{2916}{- 36}$

ステップ 5.4.2.1.3

$2916$ を $- 36$ で割ります。

$e = 0 - - 81$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 81$ をかけます。

$e = 0 + 81$

ステップ 5.4.2.2

$0$ と $81$ をたし算します。

$e = 81$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ に代入します。

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$

ステップ 6

$- 9 {(y + 3)}^{2} + 81$ を方程式 $x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y = 98$ の中の $- 9 y^{2} - 54 y$ に代入します。

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} + 81 = 98 + 1$

ステップ 7

両辺に $81$ を加えて、 $81$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 98 + 1 - 81$

ステップ 8

$98 + 1 - 81$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$98$ と $1$ をたし算します。

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 99 - 81$

ステップ 8.2

$99$ から $81$ を引きます。

${(x + 1)}^{2} - 9 {(y + 3)}^{2} = 18$

ステップ 9

各項を $18$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{18} - \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

ステップ 10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{18} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{2} = 1$

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