微分積分学準備例

$2 y - 4 x + x^{2} + y^{2} = 3$

ステップ 1

$2 y + y^{2}$ の平方完成。

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ステップ 1.1

$2 y$ と $y^{2}$ を並べ替えます。

$y^{2} + 2 y$

ステップ 1.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

ステップ 1.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 1.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.5.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.5.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - 1$

ステップ 1.5.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$e = - 1$

ステップ 1.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + 1)}^{2} - 1$ に代入します。

${(y + 1)}^{2} - 1$

ステップ 2

${(y + 1)}^{2} - 1$ を方程式 $2 y - 4 x + x^{2} + y^{2} = 3$ の中の $2 y + y^{2}$ に代入します。

${(y + 1)}^{2} - 1 - 4 x + x^{2} = 3$

ステップ 3

両辺に $1$ を加えて、 $- 1$ を方程式の右辺に移動させます。

${(y + 1)}^{2} - 4 x + x^{2} = 3 + 1$

ステップ 4

$- 4 x + x^{2}$ の平方完成。

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ステップ 4.1

$- 4 x$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$x^{2} - 4 x$

ステップ 4.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

ステップ 4.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 4.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

ステップ 4.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 2}{1}$

ステップ 4.4.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$d = - 2$

ステップ 4.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 4.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1

${(- 4)}^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.2.1.1.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.1.1.2

積の法則を $- 1 (4)$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.1.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.1.1.4

$4^{2}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.1.1.5

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.1.1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1.6.1

$4$ を $4 \cdot 1$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

ステップ 4.5.2.1.1.6.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2.1.1.6.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

ステップ 4.5.2.1.1.6.4

$4$ を $1$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 4.5.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 4.5.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 4.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - 2)}^{2} - 4$ に代入します。

${(x - 2)}^{2} - 4$

ステップ 5

${(x - 2)}^{2} - 4$ を方程式 $2 y - 4 x + x^{2} + y^{2} = 3$ の中の $- 4 x + x^{2}$ に代入します。

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} - 4 = 3 + 1$

ステップ 6

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 3 + 1 + 4$

ステップ 7

$3 + 1 + 4$ を簡約します。

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ステップ 7.1

$3$ と $1$ をたし算します。

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 4 + 4$

ステップ 7.2

$4$ と $4$ をたし算します。

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 8$

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