微分積分学準備例

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

ステップ 1

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$ を方程式で書きます。

$y = 7 x^{2} + 5 x - 4$

ステップ 2

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 2.1

$7 x^{2} + 5 x - 4$ の平方完成。

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ステップ 2.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 7$

$b = 5$

$c = - 4$

ステップ 2.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{5}{2 \cdot 7}$

ステップ 2.1.3.2

$2$ に $7$ をかけます。

$d = \frac{5}{14}$

ステップ 2.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 4 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 7}$

ステップ 2.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot 7}$

ステップ 2.1.4.2.1.2

$4$ に $7$ をかけます。

$e = - 4 - \frac{25}{28}$

ステップ 2.1.4.2.2

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{28}{28}$ を掛けます。

$e = - 4 \cdot \frac{28}{28} - \frac{25}{28}$

ステップ 2.1.4.2.3

$- 4$ と $\frac{28}{28}$ をまとめます。

$e = \frac{- 4 \cdot 28}{28} - \frac{25}{28}$

ステップ 2.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 4 \cdot 28 - 25}{28}$

ステップ 2.1.4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.5.1

$- 4$ に $28$ をかけます。

$e = \frac{- 112 - 25}{28}$

ステップ 2.1.4.2.5.2

$- 112$ から $25$ を引きます。

$e = \frac{- 137}{28}$

ステップ 2.1.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{137}{28}$

ステップ 2.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$ に代入します。

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

ステップ 2.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

ステップ 3

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 7$

$h = - \frac{5}{14}$

$k = - \frac{137}{28}$

ステップ 4

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 5

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

ステップ 6

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 6.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 6.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 7}$

ステップ 6.3

$4$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{28}$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 7.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

ステップ 8

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - \frac{5}{14}$

ステップ 9

準線を求めます。

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ステップ 9.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 9.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{69}{14}$

ステップ 10

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

焦点： $(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

対称軸： $x = - \frac{5}{14}$

準線： $y = - \frac{69}{14}$

ステップ 11

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