微分積分学準備例

f (x) = x^{2} - 10 x + 25

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

ステップ 1

f (x) = x^{2} - 10 x + 25

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ を方程式で書きます。

y = x^{2} - 10 x + 25

$y = x^{2} - 10 x + 25$

ステップ 2

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 2.1

x^{2} - 10 x + 25

$x^{2} - 10 x + 25$ の平方完成。

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ステップ 2.1.1

式

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ を利用して、

a

$a$ 、

b

$b$ 、

c

$c$ の値を求めます。

a = 1

$a = 1$

b = - 10

$b = - 10$

c = 25

$c = 25$

ステップ 2.1.2

放物線の標準形を考えます。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.1.3

公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ を利用して

d

$d$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

a

$a$ と

b

$b$ の値を公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.1.3.2

- 10

$- 10$ と

2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.1

2

$2$ を

- 10

$- 10$ で因数分解します。

d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.2.1

2

$2$ を

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ で因数分解します。

d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

ステップ 2.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.1.3.2.2.3

式を書き換えます。

d = \frac{- 5}{1}

$d = \frac{- 5}{1}$

ステップ 2.1.3.2.2.4

- 5

$- 5$ を

1

$1$ で割ります。

d = - 5

$d = - 5$

d = - 5

$d = - 5$

d = - 5

$d = - 5$

d = - 5

$d = - 5$

ステップ 2.1.4

公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して

e

$e$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.4.1

c

$c$ 、

b

$b$ 、および

a

$a$ の値を公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

e = 25 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 25 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.4.2.1.1

- 10

$- 10$ を

2

$2$ 乗します。

e = 25 - \frac{100}{4 \cdot 1}

$e = 25 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.1.4.2.1.2

4

$4$ に

1

$1$ をかけます。

e = 25 - \frac{100}{4}

$e = 25 - \frac{100}{4}$

ステップ 2.1.4.2.1.3

100

$100$ を

4

$4$ で割ります。

e = 25 - 1 \cdot 25

$e = 25 - 1 \cdot 25$

ステップ 2.1.4.2.1.4

- 1

$- 1$ に

25

$25$ をかけます。

e = 25 - 25

$e = 25 - 25$

e = 25 - 25

$e = 25 - 25$

ステップ 2.1.4.2.2

25

$25$ から

25

$25$ を引きます。

e = 0

$e = 0$

e = 0

$e = 0$

e = 0

$e = 0$

ステップ 2.1.5

a

$a$ 、

d

$d$ 、および

e

$e$ の値を頂点形

{(x - 5)}^{2} + 0

${(x - 5)}^{2} + 0$ に代入します。

{(x - 5)}^{2} + 0

${(x - 5)}^{2} + 0$

{(x - 5)}^{2} + 0

${(x - 5)}^{2} + 0$

ステップ 2.2

y

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

y = {(x - 5)}^{2} + 0

$y = {(x - 5)}^{2} + 0$

y = {(x - 5)}^{2} + 0

$y = {(x - 5)}^{2} + 0$

ステップ 3

頂点形、

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して

a

$a$ 、

h

$h$ 、

k

$k$ の値を求めます。

a = 1

$a = 1$

h = 5

$h = 5$

k = 0

$k = 0$

ステップ 4

a

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 5

頂点

(h, k)

$(h, k)$ を求めます。

(5, 0)

$(5, 0)$

ステップ 6

頂点から焦点までの距離

p

$p$ を求めます。

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ステップ 6.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 6.2

a

$a$ の値を公式に代入します。

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.3

1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

共通因数を約分します。

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2

式を書き換えます。

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、

p

$p$ をy座標

k

$k$ に加えて求められます。

(h, k + p)

$(h, k + p)$

ステップ 7.2

h

$h$ と

p

$p$ 、および

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

(5, \frac{1}{4})

$(5, \frac{1}{4})$

(5, \frac{1}{4})

$(5, \frac{1}{4})$

ステップ 8

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

x = 5

$x = 5$

ステップ 9

準線を求めます。

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ステップ 9.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標

k

$k$ から

p

$p$ を引いて求められる水平線です。

y = k - p

$y = k - p$

ステップ 9.2

p

$p$ と

k

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

ステップ 10

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点：

(5, 0)

$(5, 0)$

焦点：

(5, \frac{1}{4})

$(5, \frac{1}{4})$

対称軸：

x = 5

$x = 5$

準線：

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

ステップ 11

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