微分積分学準備例

$(2, 3)$ , $(- 1, - 5)$

ステップ 1

頂点 $(h, k)$ を持つ放物線の一般方程式は $y = a {(x - h)}^{2} + k$ です。この場合、 $(2, 3)$ を頂点 $(h, k)$ とし、 $(- 1, - 5)$ を放物線上の点 $(x, y)$ とします。 $a$ を求めるには、2つの点を $y = a {(x - h)}^{2} + k$ に代入します。

$- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$

ステップ 2

$- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$ を利用して $a$ 、 $a = - \frac{8}{9}$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$ として書き換えます。

$a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$a {(- 1 - 2)}^{2} + 3 = - 5$

ステップ 2.2.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$a {(- 3)}^{2} + 3 = - 5$

ステップ 2.2.3

$- 3$ を $2$ 乗します。

$a \cdot 9 + 3 = - 5$

ステップ 2.2.4

$9$ を $a$ の左に移動させます。

$9 a + 3 = - 5$

ステップ 2.3

$a$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$9 a = - 5 - 3$

ステップ 2.3.2

$- 5$ から $3$ を引きます。

$9 a = - 8$

ステップ 2.4

$9 a = - 8$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.1

$9 a = - 8$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

ステップ 2.4.2.1.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a = \frac{- 8}{9}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{8}{9}$

ステップ 3

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ を使うと、頂点 $(2, 3)$ と $a = - \frac{8}{9}$ をもつ放物線の一般方程式は $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ です。

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

ステップ 4

$y$ について $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ を解きます。

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ステップ 4.1

括弧を削除します。

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

ステップ 4.2

$- \frac{8}{9}$ に ${(x - (2))}^{2}$ をかけます。

$y = - \frac{8}{9} \cdot {(x - (2))}^{2} + 3$

ステップ 4.3

括弧を削除します。

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

ステップ 4.4

$(- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ を簡約します。

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ステップ 4.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

ステップ 4.4.1.2

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$y = - \frac{8}{9} ((x - 2) (x - 2)) + 3$

ステップ 4.4.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 4.4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{8}{9} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 3$

ステップ 4.4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 3$

ステップ 4.4.1.3.3

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

ステップ 4.4.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.4.1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

ステップ 4.4.1.4.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

ステップ 4.4.1.4.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 3$

ステップ 4.4.1.4.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 4 x + 4) + 3$

ステップ 4.4.1.5

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{8}{9} x^{2} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

ステップ 4.4.1.6

簡約します。

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ステップ 4.4.1.6.1

$x^{2}$ と $\frac{8}{9}$ をまとめます。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

ステップ 4.4.1.6.2

$- \frac{8}{9} (- 4 x)$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1.6.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + 4 (\frac{8}{9}) x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

ステップ 4.4.1.6.2.2

$4$ と $\frac{8}{9}$ をまとめます。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{4 \cdot 8}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

ステップ 4.4.1.6.2.3

$4$ に $8$ をかけます。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

ステップ 4.4.1.6.2.4

$\frac{32}{9}$ と $x$ をまとめます。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

ステップ 4.4.1.6.3

$- \frac{8}{9} \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1.6.3.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - 4 (\frac{8}{9}) + 3$

ステップ 4.4.1.6.3.2

$- 4$ と $\frac{8}{9}$ をまとめます。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 4 \cdot 8}{9} + 3$

ステップ 4.4.1.6.3.3

$- 4$ に $8$ をかけます。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

ステップ 4.4.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1.7.1

$8$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = - \frac{8 \cdot x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

ステップ 4.4.1.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3$

ステップ 4.4.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

ステップ 4.4.3

$3$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

ステップ 4.4.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 3 \cdot 9}{9}$

ステップ 4.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.5.1

$3$ に $9$ をかけます。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 27}{9}$

ステップ 4.4.5.2

$- 32$ と $27$ をたし算します。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 5}{9}$

ステップ 4.4.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{5}{9}$

ステップ 5

標準形と頂点の式は次のとおりです。

標準形： $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

頂点形： $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

ステップ 6

標準形を簡約します。

標準形： $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

頂点形： $y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

ステップ 7

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