微分積分学準備例

$(1, - 2)$ , $(3, 6)$

ステップ 1

頂点 $(h, k)$ を持つ放物線の一般方程式は $y = a {(x - h)}^{2} + k$ です。この場合、 $(1, - 2)$ を頂点 $(h, k)$ とし、 $(3, 6)$ を放物線上の点 $(x, y)$ とします。 $a$ を求めるには、2つの点を $y = a {(x - h)}^{2} + k$ に代入します。

$6 = a {(3 - (1))}^{2} - 2$

ステップ 2

$6 = a {(3 - (1))}^{2} - 2$ を利用して $a$ 、 $a = 2$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $a {(3 - (1))}^{2} - 2 = 6$ として書き換えます。

$a {(3 - (1))}^{2} - 2 = 6$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$a {(3 - 1)}^{2} - 2 = 6$

ステップ 2.2.2

$3$ から $1$ を引きます。

$a \cdot 2^{2} - 2 = 6$

ステップ 2.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$a \cdot 4 - 2 = 6$

ステップ 2.2.4

$4$ を $a$ の左に移動させます。

$4 a - 2 = 6$

ステップ 2.3

$a$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$4 a = 6 + 2$

ステップ 2.3.2

$6$ と $2$ をたし算します。

$4 a = 8$

ステップ 2.4

$4 a = 8$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.1

$4 a = 8$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 a}{4} = \frac{8}{4}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 a}{4} = \frac{8}{4}$

ステップ 2.4.2.1.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a = \frac{8}{4}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

$8$ を $4$ で割ります。

$a = 2$

ステップ 3

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ を使うと、頂点 $(1, - 2)$ と $a = 2$ をもつ放物線の一般方程式は $y = (2) {(x - (1))}^{2} - 2$ です。

$y = (2) {(x - (1))}^{2} - 2$

ステップ 4

$y$ について $y = (2) {(x - (1))}^{2} - 2$ を解きます。

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ステップ 4.1

括弧を削除します。

$y = (2) {(x - (1))}^{2} - 2$

ステップ 4.2

$2$ に ${(x - (1))}^{2}$ をかけます。

$y = 2 {(x - (1))}^{2} - 2$

ステップ 4.3

括弧を削除します。

$y = (2) {(x - (1))}^{2} - 2$

ステップ 4.4

$(2) {(x - (1))}^{2} - 2$ を簡約します。

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ステップ 4.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 2$

ステップ 4.4.1.2

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$y = 2 ((x - 1) (x - 1)) - 2$

ステップ 4.4.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 4.4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$y = 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 2$

ステップ 4.4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$y = 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 2$

ステップ 4.4.1.3.3

分配則を当てはめます。

$y = 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2$

ステップ 4.4.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.4.1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2$

ステップ 4.4.1.4.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$y = 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2$

ステップ 4.4.1.4.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 2$

ステップ 4.4.1.4.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 2$

ステップ 4.4.1.4.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = 2 (x^{2} - x - x + 1) - 2$

ステップ 4.4.1.4.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$y = 2 (x^{2} - 2 x + 1) - 2$

ステップ 4.4.1.5

分配則を当てはめます。

$y = 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 - 2$

ステップ 4.4.1.6

簡約します。

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ステップ 4.4.1.6.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 - 2$

ステップ 4.4.1.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 4 x + 2 - 2$

ステップ 4.4.2

$2 x^{2} - 4 x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.4.2.1

$2$ から $2$ を引きます。

$y = 2 x^{2} - 4 x + 0$

ステップ 4.4.2.2

$2 x^{2} - 4 x$ と $0$ をたし算します。

$y = 2 x^{2} - 4 x$

ステップ 5

標準形と頂点の式は次のとおりです。

標準形： $y = 2 x^{2} - 4 x$

頂点形： $y = (2) {(x - (1))}^{2} - 2$

ステップ 6

標準形を簡約します。

標準形： $y = 2 x^{2} - 4 x$

頂点形： $y = 2 {(x - 1)}^{2} - 2$

ステップ 7

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