微分積分学準備例

${(x - \sqrt{4})}^{2} - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$4$ を

$2^{2}$ に書き換えます。

${(x - \sqrt{2^{2}})}^{2} - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

${(x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.1.3

$- 1$ に

$2$ をかけます。

${(x - 2)}^{2} - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.2

${(x - 2)}^{2}$ を

$(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$(x - 2) (x - 2) - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.3

分配法則（FOIL法）を使って

$(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$x (x - 2) - 2 (x - 2) - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

$x$ に

$x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.4.1.2

$- 2$ を

$x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.4.1.3

$- 2$ に

$- 2$ をかけます。

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.4.2

$- 2 x$ から

$2 x$ を引きます。

$x^{2} - 4 x + 4 - {(y + 3 \sqrt{2})}^{2} - 4 = 0$

ステップ 1.5

${(y + 3 \sqrt{2})}^{2}$ を

$(y + 3 \sqrt{2}) (y + 3 \sqrt{2})$ に書き換えます。

$x^{2} - 4 x + 4 - ((y + 3 \sqrt{2}) (y + 3 \sqrt{2})) - 4 = 0$

ステップ 1.6

分配法則（FOIL法）を使って

$(y + 3 \sqrt{2}) (y + 3 \sqrt{2})$ を展開します。

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ステップ 1.6.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y (y + 3 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} (y + 3 \sqrt{2})) - 4 = 0$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y \cdot y + y (3 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} (y + 3 \sqrt{2})) - 4 = 0$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y \cdot y + y (3 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} y + 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2})) - 4 = 0$

ステップ 1.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1.1

$y$ に

$y$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + y (3 \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} y + 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2})) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.2

$3$ を

$y$ の左に移動させます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 \cdot (y \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} y + 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2})) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.3

$3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2})$ を掛けます。

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ステップ 1.7.1.3.1

$3$ に

$3$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 9 \sqrt{2} \sqrt{2}) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.3.2

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 9 (\sqrt{2} \sqrt{2})) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.3.3

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 9 (\sqrt{2} \sqrt{2})) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.3.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.3.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 9 {\sqrt{2}}^{2}) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

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ステップ 1.7.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.4.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 9 \cdot 2) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.4.5

指数を求めます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 9 \cdot 2) - 4 = 0$

ステップ 1.7.1.5

$9$ に

$2$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} y + 18) - 4 = 0$

ステップ 1.7.2

$3 \sqrt{2} y$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 3 y \sqrt{2} + 3 y \sqrt{2} + 18) - 4 = 0$

ステップ 1.7.3

$3 y \sqrt{2}$ と

$3 y \sqrt{2}$ をたし算します。

$x^{2} - 4 x + 4 - (y^{2} + 6 y \sqrt{2} + 18) - 4 = 0$

ステップ 1.8

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 x + 4 - y^{2} - (6 y \sqrt{2}) - 1 \cdot 18 - 4 = 0$

ステップ 1.9

簡約します。

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ステップ 1.9.1

$6$ に

$- 1$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + 4 - y^{2} - 6 (y \sqrt{2}) - 1 \cdot 18 - 4 = 0$

ステップ 1.9.2

$- 1$ に

$18$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + 4 - y^{2} - 6 (y \sqrt{2}) - 18 - 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 4 - y^{2} - 6 y \sqrt{2} - 18 - 4 = 0$

ステップ 2

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{2} - 4 x + 4 - y^{2} - 6 y \sqrt{2} - 18 - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.1.1

$4$ から

$4$ を引きます。

$x^{2} - 4 x - y^{2} - 6 y \sqrt{2} - 18 + 0 = 0$

ステップ 2.1.2

$x^{2} - 4 x - y^{2} - 6 y \sqrt{2} - 18$ と

$0$ をたし算します。

$x^{2} - 4 x - y^{2} - 6 y \sqrt{2} - 18 = 0$

ステップ 2.2

$- 4 x$ を移動させます。

$x^{2} - y^{2} - 4 x - 6 y \sqrt{2} - 18 = 0$

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