微分積分学準備例

$y = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}$

ステップ 2

$x^{2} - 1$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3.2

式を書き換えます。

$y = \frac{x + 4}{x + 1}$

ステップ 4

グラフ内の穴を求めるために、約分された分母の因数を見ます。

$x - 1$

ステップ 5

穴の座標を求めるために、約分した各因数が $0$ に等しいとして解き、 $\frac{x + 4}{x + 1}$ に戻し入れます。

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ステップ 5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.3

$1$ を $\frac{x + 4}{x + 1}$ の中の $x$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.3.1

$1$ を $x$ に代入し、穴の $y$ 座標を求めます。

$\frac{1 + 4}{1 + 1}$

ステップ 5.3.2

簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{5}{1 + 1}$

ステップ 5.3.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{2}$

ステップ 5.4

約分した因数のいずれかが $0$ に等しいときのグラフ内の穴が点です。

$(1, \frac{5}{2})$

ステップ 6

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