微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

ステップ 1

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

有理根検定を用いて $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

ステップ 1.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 1.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

ステップ 1.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

ステップ 1.1.3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

ステップ 1.1.3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 + 1 - 6$

ステップ 1.1.3.5

$1$ と $4$ をたし算します。

$5 + 1 - 6$

ステップ 1.1.3.6

$5$ と $1$ をたし算します。

$6 - 6$

ステップ 1.1.3.7

$6$ から $6$ を引きます。

$0$

ステップ 1.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

ステップ 1.1.5

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

ステップ 1.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

ステップ 1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

ステップ 1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

ステップ 1.1.5.7

被除数 $5 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

ステップ 1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x^{2} - 5 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

ステップ 1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

ステップ 1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

ステップ 1.1.5.12

被除数 $6 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

ステップ 1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

ステップ 1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $6 x - 6$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

ステップ 1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

ステップ 1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 5 x + 6$

ステップ 1.1.6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ を因数の集合として書き換えます。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $5$ です。

$2, 3$

ステップ 1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

ステップ 1.2.2

不要な括弧を削除します。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $5$ です。

$2, 3$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

ステップ 3

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

共通因数を約分します。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

ステップ 3.2

式を書き換えます。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 4

$x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

ステップ 4.2

$x - 1$ を $1$ で割ります。

$f (x) = x - 1$

ステップ 5

グラフ内の穴を求めるために、約分された分母の因数を見ます。

$x + 2, x + 3$

ステップ 6

穴の座標を求めるために、約分した各因数が $0$ に等しいとして解き、 $x - 1$ に戻し入れます。

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ステップ 6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6.3

$- 2$ を $x - 1$ の中の $x$ に代入し簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 2$ を $x$ に代入し、穴の $y$ 座標を求めます。

$- 2 - 1$

ステップ 6.3.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$- 3$

ステップ 6.4

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 6.5

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6.6

$- 3$ を $x - 1$ の中の $x$ に代入し簡約します。

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ステップ 6.6.1

$- 3$ を $x$ に代入し、穴の $y$ 座標を求めます。

$- 3 - 1$

ステップ 6.6.2

$- 3$ から $1$ を引きます。

$- 4$

ステップ 6.7

約分した因数のいずれかが $0$ に等しいときのグラフ内の穴が点です。

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

ステップ 7

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