例

$f (x) = 3 x + 5$ , $g (x) = x^{3}$ , $(g \circ f)$

ステップ 1

合成結果関数を立てます。

$g (f (x))$

ステップ 2

$g$ に $f$ の値を代入し、 $g (3 x + 5)$ の値を求めます。

$g (3 x + 5) = {(3 x + 5)}^{3}$

ステップ 3

二項定理を利用します。

$g (3 x + 5) = {(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$g (3 x + 5) = 3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 4.2

$3$ を $3$ 乗します。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 4.3

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 4.4

指数を足して $3$ に $3^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$3^{2}$ を移動させます。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3^{2} \cdot (3 x^{2}) \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 4.4.2

$3^{2}$ に $3$ をかけます。

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ステップ 4.4.2.1

$3$ を $1$ 乗します。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3^{2} \cdot (3 x^{2}) \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 4.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 4.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 4.5

$3$ を $3$ 乗します。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot 5 + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 4.6

$5$ に $27$ をかけます。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 135 x^{2} + 3 (3 x) \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 4.7

$3$ に $3$ をかけます。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 135 x^{2} + 9 x \cdot 5^{2} + 5^{3}$

ステップ 4.8

$5$ を $2$ 乗します。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 135 x^{2} + 9 x \cdot 25 + 5^{3}$

ステップ 4.9

$25$ に $9$ をかけます。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 135 x^{2} + 225 x + 5^{3}$

ステップ 4.10

$5$ を $3$ 乗します。

$g (3 x + 5) = 27 x^{3} + 135 x^{2} + 225 x + 125$

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