例

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y + 52 = 3$

ステップ 1

変数を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $52$ を引きます。

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = 3 - 52$

ステップ 1.2

$3$ から $52$ を引きます。

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$

ステップ 2

$4 x^{2} + 8 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

ステップ 2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 2.3.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{4}{4}$

ステップ 2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{16}$

ステップ 2.4.2.1.3

$64$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 2.4.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ に代入します。

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

ステップ 3

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$ を方程式 $4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ の中の $4 x^{2} + 8 x$ に代入します。

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + 9 y^{2} + 54 y = - 49$

ステップ 4

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = - 49 + 4$

ステップ 5

$9 y^{2} + 54 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$54$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$2$ を $54$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{27}{9}$

ステップ 5.3.2.2

$27$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{1}$

ステップ 5.3.2.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$d = 3$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$54$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

ステップ 5.4.2.1.3

$2916$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 81$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $81$ をかけます。

$e = 0 - 81$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $81$ を引きます。

$e = - 81$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ に代入します。

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

ステップ 6

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$ を方程式 $4 x^{2} + 9 y^{2} + 8 x + 54 y = - 49$ の中の $9 y^{2} + 54 y$ に代入します。

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = - 49 + 4$

ステップ 7

両辺に $81$ を加えて、 $- 81$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 49 + 4 + 81$

ステップ 8

$- 49 + 4 + 81$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 49$ と $4$ をたし算します。

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = - 45 + 81$

ステップ 8.2

$- 45$ と $81$ をたし算します。

$4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 36$

ステップ 9

各項を $36$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

ステップ 10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

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