例

$(- 1, 2)$ , $(5, 2)$ , $(7, 2)$

ステップ 1

楕円には2つの一般方程式があります。

水平楕円方程式 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

垂直楕円方程式 $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 2

$a$ は、交点 $(7, 2)$ と中心点 $(- 1, 2)$ 間の距離です。

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ステップ 2.1

距離の公式を利用して2点間の距離を決定します。

$距離 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

ステップ 2.2

点の実際の値を距離の公式に代入します。

$a = \sqrt{{(7 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a = \sqrt{{(7 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

$7$ と $1$ をたし算します。

$a = \sqrt{8^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.3

$8$ を $2$ 乗します。

$a = \sqrt{64 + {(2 - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3.4

$2$ から $2$ を引きます。

$a = \sqrt{64 + 0^{2}}$

ステップ 2.3.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$a = \sqrt{64 + 0}$

ステップ 2.3.6

$64$ と $0$ をたし算します。

$a = \sqrt{64}$

ステップ 2.3.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$a = \sqrt{8^{2}}$

ステップ 2.3.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$a = 8$

ステップ 3

$c$ は、焦点 $(5, 2)$ と中心 $(- 1, 2)$ 間の距離です。

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ステップ 3.1

距離の公式を利用して2点間の距離を決定します。

$距離 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

ステップ 3.2

点の実際の値を距離の公式に代入します。

$c = \sqrt{{(5 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$c = \sqrt{{(5 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$5$ と $1$ をたし算します。

$c = \sqrt{6^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$6$ を $2$ 乗します。

$c = \sqrt{36 + {(2 - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$2$ から $2$ を引きます。

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

ステップ 3.3.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$c = \sqrt{36 + 0}$

ステップ 3.3.6

$36$ と $0$ をたし算します。

$c = \sqrt{36}$

ステップ 3.3.7

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$c = \sqrt{6^{2}}$

ステップ 3.3.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$c = 6$

ステップ 4

方程式 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ を使う。 $8$ を $a$ に、 $6$ を $c$ に代入します。

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ステップ 4.1

方程式を ${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$ として書き換えます。

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$

ステップ 4.2

$8$ を $2$ 乗します。

$64 - b^{2} = 6^{2}$

ステップ 4.3

$6$ を $2$ 乗します。

$64 - b^{2} = 36$

ステップ 4.4

$b$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.4.1

方程式の両辺から $64$ を引きます。

$- b^{2} = 36 - 64$

ステップ 4.4.2

$36$ から $64$ を引きます。

$- b^{2} = - 28$

ステップ 4.5

$- b^{2} = - 28$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- b^{2} = - 28$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}$

ステップ 4.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}$

ステップ 4.5.2.2

$b^{2}$ を $1$ で割ります。

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

ステップ 4.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.5.3.1

$- 28$ を $- 1$ で割ります。

$b^{2} = 28$

ステップ 4.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$b = \pm \sqrt{28}$

ステップ 4.7

$\pm \sqrt{28}$ を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 4.7.1.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$b = \pm \sqrt{4 (7)}$

ステップ 4.7.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

ステップ 4.7.2

累乗根の下から項を取り出します。

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

ステップ 4.8

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.8.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$b = 2 \sqrt{7}$

ステップ 4.8.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$b = - 2 \sqrt{7}$

ステップ 4.8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

ステップ 5

$b$ は距離で、正数である必要があります。

$b = 2 \sqrt{7}$

ステップ 6

焦点 $(5, 2)$ と中心 $(- 1, 2)$ を結ぶ直線の傾きが、楕円が垂直か水平かを決定します。傾きが $0$ の場合、グラフは水平です。傾きが未定義の場合、グラフは垂直です。

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ステップ 6.1

傾きは、 $x$ の変化に対する $y$ の変化に等しい、または上昇です。

$m = \frac{yの変化}{xの変化}$

ステップ 6.2

$x$ の変化はx座標の差（増加ともいう）に等しく、 $y$ の変化はy座標の差（上昇ともいう）に等しい。

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

ステップ 6.3

方程式の $x$ と $y$ の値に代入し、傾きを求めます。

$m = \frac{2 - (2)}{- 1 - (5)}$

ステップ 6.4

簡約します。

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ステップ 6.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$m = \frac{2 - 2}{- 1 - (5)}$

ステップ 6.4.1.2

$2$ から $2$ を引きます。

$m = \frac{0}{- 1 - (5)}$

ステップ 6.4.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$m = \frac{0}{- 1 - 5}$

ステップ 6.4.2.2

$- 1$ から $5$ を引きます。

$m = \frac{0}{- 6}$

ステップ 6.4.3

$0$ を $- 6$ で割ります。

$m = 0$

ステップ 6.5

水平楕円の一般方程式は $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ です。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 7

$h = - 1$ 、 $k = 2$ 、 $a = 8$ 、および $b = 2 \sqrt{7}$ の値を $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ に代入し、楕円の方程式 $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$ を得ます。

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

ステップ 8

簡約し、楕円の最後の方程式を求めます。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

ステップ 8.2

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

ステップ 8.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

ステップ 8.4

分母を簡約します。

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ステップ 8.4.1

積の法則を $2 \sqrt{7}$ に当てはめます。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

ステップ 8.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

ステップ 8.4.3

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

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ステップ 8.4.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

ステップ 8.4.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

ステップ 8.4.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

ステップ 8.4.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

ステップ 8.4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

ステップ 8.4.3.5

指数を求めます。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

ステップ 8.5

$4$ に $7$ をかけます。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{28} = 1$

ステップ 9

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