例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 5 & 0 7 & 5 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 1

Nullity is the dimension of the null space, which is the same as the number of free variables in the system after row reducing. The free variables are the columns without pivot positions.

ステップ 2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} 7 & 5 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 2.1.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 7 & 5 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 7 & 5 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 2.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 2.2.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & - \frac{20}{3} & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & - \frac{20}{3} & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 2.3

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & - \frac{20}{3} & 0 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 \end{array}]$

ステップ 2.3.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & - \frac{20}{3} & 0 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & - \frac{20}{3} & 0 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 2.4

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{3}{20}

$- \frac{3}{20}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{3}{20}

$- \frac{3}{20}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 2.4.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & 1 & 0 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & 1 & 0 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 2.5

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & 1 & 0 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 2.5.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{3} & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 2.6

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 2.6.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3

The pivot positions are the locations with the leading

1

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

a_{11}

$a_{11}$ and

a_{22}

$a_{22}$

Pivot Columns:

1

$1$ and

2

$2$

ステップ 4

The nullity is the number of columns without a pivot position in the row reduced matrix.

1

$1$

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