例

S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - 3 b - 3 c \\ 3 a - b - 3 c \\ a - b + c \end{array}]

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - 3 b - 3 c \\ 3 a - b - 3 c \\ a - b + c \end{array}]$

ステップ 1

変換は

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ から

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ への写像を定義します。変換が線形であることを証明するために、変換はスカラー乗法、加法、およびゼロベクトルを維持しなければなりません。

S：

ℝ^{3} \to ℝ^{3}

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

ステップ 2

まず、変換がこの特性をもっていることを証明します。

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

ステップ 3

2つの行列を設定し、加算の性質が

S

$S$ に維持されているか検定します。

S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

ステップ 4

2つの行列を加えます。

S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

ステップ 5

ベクトルに変換を当てはめます。

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - 3 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ 3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - 3 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ 3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

ステップ 6

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

x_{1} + y_{1} - 3 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} - 3 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})$ を並べ替えます。

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

ステップ 6.2

3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})

$3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})$ を並べ替えます。

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} + 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} + 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

ステップ 6.3

x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ を並べ替えます。

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} + 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} + 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} + 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]

ステップ 7

変数をグループ化して、結果を2つの行列に分割します。

S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

ステップ 8

変換の加法の特性が当てはまります。

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

ステップ 9

変換が線形であるためには、スカラー乗法を維持する必要があります。

S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

ステップ 10

各要素から

p

$p$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

p

$p$ に行列の各要素を掛けます。

S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

ステップ 10.2

ベクトルに変換を当てはめます。

S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - 3 (p b) - 3 (p c) \\ 3 ((p a) - (p b) - 3 (p c)) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - 3 (p b) - 3 (p c) \\ 3 ((p a) - (p b) - 3 (p c)) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

ステップ 10.3

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

(p a) - 3 (p b) - 3 (p c)

$(p a) - 3 (p b) - 3 (p c)$ を並べ替えます。

S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 ((p a) - (p b) - 3 (p c)) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 ((p a) - (p b) - 3 (p c)) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

ステップ 10.3.2

3 ((p a) - (p b) - 3 (p c))

$3 ((p a) - (p b) - 3 (p c))$ を並べ替えます。

S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

ステップ 10.3.3

(p a) - (p b) + p c

$(p a) - (p b) + p c$ を並べ替えます。

S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

ステップ 10.4

行列の各要素を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

a p - 3 b p - 3 c p

$a p - 3 b p - 3 c p$ を掛けて要素

0, 0

$0, 0$ を因数分解します。

S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

ステップ 10.4.2

3 a p - 3 b p - 9 c p

$3 a p - 3 b p - 9 c p$ を掛けて要素

1, 0

$1, 0$ を因数分解します。

S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

ステップ 10.4.3

a p - 1 b p + c p

$a p - 1 b p + c p$ を掛けて要素

2, 0

$2, 0$ を因数分解します。

S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ p (a - b + c) \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ p (a - b + c) \end{array}]$

S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ p (a - b + c) \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ p (a - b + c) \end{array}]$

S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ p (a - b + c) \end{array}]

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ p (a - b + c) \end{array}]$

ステップ 11

線形変換の2番目の特性はこの変換で維持されます。

S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

ステップ 12

変換が線形であるために、0ベクトルが保存されている必要があります。

S (0) = 0

$S (0) = 0$

ステップ 13

ベクトルに変換を当てはめます。

S (0) = [\begin{array}{c} (0) - 3 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ 3 (0) - (0) - 3 \cdot 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - 3 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ 3 (0) - (0) - 3 \cdot 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

ステップ 14

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

(0) - 3 \cdot 0 - 3 \cdot 0

$(0) - 3 \cdot 0 - 3 \cdot 0$ を並べ替えます。

S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 3 (0) - (0) - 3 \cdot 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 3 (0) - (0) - 3 \cdot 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

ステップ 14.2

3 (0) - (0) - 3 \cdot 0

$3 (0) - (0) - 3 \cdot 0$ を並べ替えます。

S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

ステップ 14.3

(0) - (0) + 0

$(0) - (0) + 0$ を並べ替えます。

S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 15

ゼロベクトルは変換によって維持されます。

S (0) = 0

$S (0) = 0$

ステップ 16

一次変換の3つの特性が一致しないので、これは一次変換ではありません。

線形変換

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