例

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ ,

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$

ステップ 1

点

(p, q, r)

$(p, q, r)$ を通り平面

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ に垂直な線と平面

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ の交点を求めるために：

1. 法線ベクトルが

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ および

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ である平面

P_{1}

$P_{1}$ および平面

P_{2}

$P_{2}$ の法線ベクトルを求めます。ドット積が0か確認します。

x = p + a t

$x = p + a t$ 、

y = q + b t

$y = q + b t$ 、

z = r + c t

$z = r + c t$ などの媒介変数方程式の集合を作成します。

3. これらの方程式を

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ であるような平面

P_{2}

$P_{2}$ の方程式に代入し、

t

$t$ を解きます。

t

$t$ の値を利用して

t

$t$ について、媒介変数方程式

x = p + a t

$x = p + a t$ 、

y = q + b t

$y = q + b t$ 、および

z = r + c t

$z = r + c t$ を解き、交点

(x, y, z)

$(x, y, z)$ を求めます。

ステップ 2

各面の法線ベクトルを求め、そのドット積を計算して垂直かどうかを判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

P_{1}

$P_{1}$ は

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ です。式

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ 平面の方程式から法線ベクトル

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ を求めます。

n_{1} = ⟨ 7, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 7, - 1, 0 ⟩$

ステップ 2.2

P_{2}

$P_{2}$ は

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$ です。式

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ 平面の方程式から法線ベクトル

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ を求めます。

n_{2} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

ステップ 2.3

n_{1}

$n_{1}$ と

n_{2}

$n_{2}$ のドット積を、法線ベクトルの対応する

x

$x$ 、

y

$y$ 、

z

$z$ の値の積を合計し計算します。

7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4

ドット積を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

括弧を削除します。

7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

7

$7$ に

3

$3$ をかけます。

21 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$21 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4.2.2

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

21 + 1 + 0 \cdot 0

$21 + 1 + 0 \cdot 0$

ステップ 2.4.2.3

0

$0$ に

0

$0$ をかけます。

21 + 1 + 0

$21 + 1 + 0$

21 + 1 + 0

$21 + 1 + 0$

ステップ 2.4.3

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

21

$21$ と

1

$1$ をたし算します。

22 + 0

$22 + 0$

ステップ 2.4.3.2

22

$22$ と

0

$0$ をたし算します。

22

$22$

22

$22$

22

$22$

22

$22$

ステップ 3

次に、点

(p, q, r)

$(p, q, r)$ に対する原点

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ と、

a

$a$ 、

b

$b$ 、および

c

$c$ の値に対する法線ベクトル

22

$22$ の値を利用して媒介変数方程式

x = p + a t

$x = p + a t$ 、

y = q + b t

$y = q + b t$ 、および

z = r + c t

$z = r + c t$ の集合を作成します。この媒介変数方程式の集合、

P_{1}

$P_{1}$

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ に垂直な原点を通る線を表します。

x = 0 + 7 \cdot t

$x = 0 + 7 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

ステップ 4

x

$x$ 、

y

$y$ 、および

z

$z$ の値を標準形の方程式

P_{2}

$P_{2}$

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$ に代入します。

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0$

ステップ 5

t

$t$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

0

$0$ と

7 \cdot t

$7 \cdot t$ をたし算します。

3 (7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0$

ステップ 5.1.1.2

0

$0$ から

1 \cdot t

$1 \cdot t$ を引きます。

3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0$

3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0$

ステップ 5.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

7

$7$ に

3

$3$ をかけます。

21 t - (- 1 \cdot t) = 0

$21 t - (- 1 \cdot t) = 0$

ステップ 5.1.2.2

- 1 t

$- 1 t$ を

- t

$- t$ に書き換えます。

21 t - - t = 0

$21 t - - t = 0$

ステップ 5.1.2.3

- - t

$- - t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.1

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

21 t + 1 t = 0

$21 t + 1 t = 0$

ステップ 5.1.2.3.2

t

$t$ に

1

$1$ をかけます。

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

ステップ 5.1.3

21 t

$21 t$ と

t

$t$ をたし算します。

22 t = 0

$22 t = 0$

22 t = 0

$22 t = 0$

ステップ 5.2

22 t = 0

$22 t = 0$ の各項を

22

$22$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

22 t = 0

$22 t = 0$ の各項を

22

$22$ で割ります。

\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}

$\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

22

$22$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}$

ステップ 5.2.2.1.2

$t$ を

$1$ で割ります。

$t = \frac{0}{22}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$0$ を

$22$ で割ります。

$t = 0$

ステップ 6

$t$ の値を利用して

$x$ 、

$y$ 、および

$z$ について媒介変数方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

括弧を削除します。

$x = 0 + 7 \cdot (0)$

ステップ 6.1.2

$0 + 7 \cdot (0)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$7$ に

$0$ をかけます。

$x = 0 + 0$

ステップ 6.1.2.2

$0$ と

$0$ をたし算します。

$x = 0$

ステップ 6.2

$y$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

$y = 0 - 1 \cdot 0$

ステップ 6.2.2

$0$ から

$0$ を引きます。

$y = 0$

ステップ 6.3

$z$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

括弧を削除します。

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

ステップ 6.3.2

$0 + 0 \cdot (0)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$0$ に

$0$ をかけます。

$z = 0 + 0$

ステップ 6.3.2.2

$0$ と

$0$ をたし算します。

$z = 0$

ステップ 6.4

$x$ 、

$y$ 、および

$z$ について解いた媒介変数方程式です。

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

ステップ 7

$x$ 、

$y$ 、および

$z$ を計算した値を利用すると、交点は

$(0, 0, 0)$ であることがわかります。

$(0, 0, 0)$

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