線形代数例

a = [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ ,

b = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \end{matrix}]

$b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 1

ドット積を求めます。

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ステップ 1.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

1

$1$ に

1

$1$ をかけます。

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

ステップ 1.2.1.2

0

$0$ に

1

$1$ をかけます。

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

ステップ 1.2.1.3

3

$3$ に

1

$1$ をかけます。

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

ステップ 1.2.2

1

$1$ と

0

$0$ をたし算します。

b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

ステップ 1.2.3

1

$1$ と

3

$3$ をたし算します。

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

b⃗ \cdot a⃗ = 4

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

ステップ 2

a⃗ = [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ のノルムを求めます。

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ステップ 2.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

ステップ 2.2.2

0

$0$ を正数乗し、

0

$0$ を得ます。

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

ステップ 2.2.3

3

$3$ を

2

$2$ 乗します。

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

ステップ 2.2.4

1

$1$ と

0

$0$ をたし算します。

| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

ステップ 2.2.5

1

$1$ と

9

$9$ をたし算します。

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

| | a⃗ | | = \sqrt{10}

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

ステップ 3

b⃗

$b⃗$ の

a⃗

$a⃗$ への投影を投影公式を用いて求めます。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

ステップ 4

4

$4$ を

b⃗ \cdot a⃗

$b⃗ \cdot a⃗$ に代入します。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

ステップ 5

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ を

| | a⃗ | |

$| | a⃗ | |$ に代入します。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

ステップ 6

[\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ を

a⃗

$a⃗$ に代入します。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

{\sqrt{10}}^{2}

${\sqrt{10}}^{2}$ を

10

$10$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{10}

$\sqrt{10}$ を

10^{\frac{1}{2}}

$10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

ステップ 7.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

ステップ 7.1.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

2

$2$ をまとめます。

{proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \end{matrix}]

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

ステップ 7.1.4

2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.4.1

共通因数を約分します。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

ステップ 7.1.4.2

式を書き換えます。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

ステップ 7.1.5

指数を求めます。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

ステップ 7.2

$4$ と

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$2$ を

$4$ で因数分解します。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ を

$10$ で因数分解します。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

ステップ 7.3

$\frac{2}{5}$ に行列の各要素を掛けます。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 7.4

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$\frac{2}{5}$ に

$1$ をかけます。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 7.4.2

$\frac{2}{5}$ に

$0$ をかけます。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

ステップ 7.4.3

$\frac{2}{5} \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 7.4.3.1

$\frac{2}{5}$ と

$3$ をまとめます。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

ステップ 7.4.3.2

$2$ に

$3$ をかけます。

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

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