線形代数例

a = [\begin{matrix} 2 & 3 & 2 \end{matrix}]

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ ,

b = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

$b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 1

ドット積を求めます。

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ステップ 1.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.2

3

$3$ に

2

$2$ をかけます。

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.3

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

ステップ 1.2.2

2

$2$ と

6

$6$ をたし算します。

a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

ステップ 1.2.3

8

$8$ と

2

$2$ をたし算します。

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

a⃗ \cdot b⃗ = 10

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

ステップ 2

b⃗ = [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

$b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ のノルムを求めます。

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ステップ 2.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

ステップ 2.2.2

2

$2$ を

2

$2$ 乗します。

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

ステップ 2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

ステップ 2.2.4

1

$1$ と

4

$4$ をたし算します。

| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

ステップ 2.2.5

5

$5$ と

1

$1$ をたし算します。

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

| | b⃗ | | = \sqrt{6}

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

ステップ 3

a⃗

$a⃗$ の

b⃗

$b⃗$ への投影を投影公式を用いて求めます。

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

ステップ 4

10

$10$ を

a⃗ \cdot b⃗

$a⃗ \cdot b⃗$ に代入します。

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

ステップ 5

\sqrt{6}

$\sqrt{6}$ を

| | b⃗ | |

$| | b⃗ | |$ に代入します。

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

ステップ 6

[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ を

b⃗

$b⃗$ に代入します。

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

{\sqrt{6}}^{2}

${\sqrt{6}}^{2}$ を

6

$6$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{6}

$\sqrt{6}$ を

6^{\frac{1}{2}}

$6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 7.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 7.1.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

2

$2$ をまとめます。

{proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 7.1.4

2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.4.1

共通因数を約分します。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 7.1.4.2

式を書き換えます。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 7.1.5

指数を求めます。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 7.2

$10$ と

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$2$ を

$10$ で因数分解します。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2$ を

$6$ で因数分解します。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 7.3

$\frac{5}{3}$ に行列の各要素を掛けます。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 7.4

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$\frac{5}{3}$ に

$1$ をかけます。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 7.4.2

$\frac{5}{3} \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 7.4.2.1

$\frac{5}{3}$ と

$2$ をまとめます。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 7.4.2.2

$5$ に

$2$ をかけます。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 7.4.3

$\frac{5}{3}$ に

$1$ をかけます。

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

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