線形代数例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 7 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ \times ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 524 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]$

ステップ 1

2つのベクトル

a⃗

$a⃗$ と

b⃗

$b⃗$ の外積は、

R^{3}

$ℝ^{3}$ の標準単位ベクトルと与えられたベクトルの要素の行列式として記述できます。

a⃗ \times b⃗ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} î & ĵ & k̂ a_{1} & a_{2} & a_{3} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

ステップ 2

与えられた値で行列式を設定します。

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} î & ĵ & k̂ 1 & - 7 & 1 5 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 3

最大の

0

$0$ 要素を持つ行または列を選択します。

0

$0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。行

1

$1$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

該当する符号図を考慮します。

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 3.2

指数が符号図の

-

$-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 3.3

a_{11}

$a_{11}$ の小行列式は、行

1

$1$ と列

1

$1$ を削除した行列式です。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 7 & 1 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$

ステップ 3.4

要素

a_{11}

$a_{11}$ にその余因子を掛けます。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 7 & 1 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ î

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î$

ステップ 3.5

a_{12}

$a_{12}$ の小行列式は、行

1

$1$ と列

2

$2$ を削除した行列式です。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$

ステップ 3.6

要素

a_{12}

$a_{12}$ にその余因子を掛けます。

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ

$- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ$

ステップ 3.7

a_{13}

$a_{13}$ の小行列式は、行

1

$1$ と列

3

$3$ を削除した行列式です。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$

ステップ 3.8

要素

a_{13}

$a_{13}$ にその余因子を掛けます。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

ステップ 3.9

項同士を足します。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 7 & 1 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 7 & 1 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

ステップ 4

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 7 & 1 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

- 7

$- 7$ に

4

$4$ をかけます。

(- 28 - 2 \cdot 1) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

ステップ 4.2.1.2

- 2

$- 2$ に

1

$1$ をかけます。

(- 28 - 2) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

(- 28 - 2) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

ステップ 4.2.2

- 28

$- 28$ から

2

$2$ を引きます。

- 30 î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

ステップ 5

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

ステップ 5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

4

$4$ に

1

$1$ をかけます。

- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

ステップ 5.2.1.2

- 5

$- 5$ に

1

$1$ をかけます。

- 30 î - (4 - 5) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - (4 - 5) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

ステップ 5.2.2

4

$4$ から

5

$5$ を引きます。

- 30 î - - 1 ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

ステップ 6

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂$

ステップ 6.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

2

$2$ に

1

$1$ をかけます。

- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂$

ステップ 6.2.1.2

- 5

$- 5$ に

- 7

$- 7$ をかけます。

- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

ステップ 6.2.2

2

$2$ と

35

$35$ をたし算します。

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

ステップ 7

- 1

$- 1$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂

$- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂$

ステップ 8

回答を書き換えます。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 30 137 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]$

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