線形代数例

$(1, - 2)$ , $(- 2, 1)$

ステップ 1

2つのベクトル間の角を求めるには、ドット積の公式を使用します。

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

ドット積を求めます。

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ステップ 2.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.2.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

ステップ 2.2.2

$- 2$ から $2$ を引きます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

ステップ 3.2.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

ステップ 4.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

ステップ 4.2.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

ステップ 6.1.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

ステップ 6.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

ステップ 6.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.2.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{1}})$

ステップ 6.2.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5})$

ステップ 6.3

分数の前に負数を移動させます。

$θ = \arccos (- \frac{4}{5})$

ステップ 6.4

$\arccos (- \frac{4}{5})$ の値を求めます。

$θ = 143.13010235$

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