線形代数例

$(1, - 1, 2)$ , $(0, 3, 1)$

ステップ 1

2つのベクトル間の角を求めるには、外積の公式を使用します。

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

外積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

2つのベクトル $a⃗$ と $b⃗$ の外積は、 $ℝ^{3}$ の標準単位ベクトルと与えられたベクトルの要素の行列式として記述できます。

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

ステップ 2.2

与えられた値で行列式を設定します。

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.3

最大の $0$ 要素を持つ行または列を選択します。 $0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。行 $1$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 2.3.2

指数が符号図の $-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 2.3.3

$a_{11}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.3.4

要素 $a_{11}$ にその余因子を掛けます。

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

ステップ 2.3.5

$a_{12}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.3.6

要素 $a_{12}$ にその余因子を掛けます。

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

ステップ 2.3.7

$a_{13}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

ステップ 2.3.8

要素 $a_{13}$ にその余因子を掛けます。

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

ステップ 2.3.9

項同士を足します。

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

ステップ 2.4

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

ステップ 2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

ステップ 2.4.2.1.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

ステップ 2.4.2.2

$- 1$ から $6$ を引きます。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

ステップ 2.5

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

ステップ 2.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

ステップ 2.5.2.1.2

$0$ に $2$ をかけます。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

ステップ 2.5.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

ステップ 2.6

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

ステップ 2.6.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

ステップ 2.6.2.1.2

$0$ に $- 1$ をかけます。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

ステップ 2.6.2.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

ステップ 2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

ステップ 2.8

回答を書き換えます。

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

ステップ 3

外積の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

ステップ 3.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

ステップ 3.2.4

$49$ と $1$ をたし算します。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

ステップ 3.2.5

$50$ と $9$ をたし算します。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

ステップ 4

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

ステップ 4.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

ステップ 4.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

ステップ 4.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

ステップ 4.2.5

$2$ と $4$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

ステップ 5

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 5.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

ステップ 5.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

ステップ 5.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

ステップ 5.2.4

$0$ と $9$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

ステップ 5.2.5

$9$ と $1$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

ステップ 6

値を公式に代入します。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

ステップ 7.1.2

$6$ に $10$ をかけます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.1.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

ステップ 7.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

ステップ 7.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

ステップ 7.3

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ をかけます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

ステップ 7.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.4.1

$\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ をかけます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

ステップ 7.4.2

$\sqrt{15}$ を移動させます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

ステップ 7.4.3

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

ステップ 7.4.4

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

ステップ 7.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

ステップ 7.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

ステップ 7.4.7

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

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ステップ 7.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 7.4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 7.4.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 7.4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.7.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 7.4.7.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

ステップ 7.4.7.5

指数を求めます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

ステップ 7.5.2

$59$ に $15$ をかけます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

ステップ 7.6

$2$ に $15$ をかけます。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

ステップ 7.7

$\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ の値を求めます。

$θ = 82.5824442$

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