線形代数例

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ ,

$(0, 1, 1)$ ,

$(0, 0, 1)$

ステップ 1

それぞれのベクトルに名前を付けます。

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

ステップ 2

最初の直交ベクトルは、与えられたベクトル集合の中の最初のベクトルです。

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

ステップ 3

この公式を使って他の直交ベクトルを求めます。

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

ステップ 4

直交ベクトル

${v⃗}_{2}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

この公式を使って

${v⃗}_{2}$ を求めます。

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

ステップ 4.2

$(0, 1, 1)$ を

${u⃗}_{2}$ に代入します。

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

ステップ 4.3

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

ドット積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

ステップ 4.3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1.1

$0$ に

$1$ をかけます。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

ステップ 4.3.1.2.1.2

$1$ に

$1$ をかけます。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

ステップ 4.3.1.2.1.3

$1$ に

$1$ をかけます。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

ステップ 4.3.1.2.2

$0$ と

$1$ をたし算します。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

ステップ 4.3.1.2.3

$1$ と

$1$ をたし算します。

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

ステップ 4.3.2

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ のノルムを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.3.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

ステップ 4.3.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

ステップ 4.3.2.2.4

$1$ と

$1$ をたし算します。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

ステップ 4.3.2.2.5

$2$ と

$1$ をたし算します。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

ステップ 4.3.3

${u⃗}_{2}$ の

${v⃗}_{1}$ への投影を投影公式を用いて求めます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

ステップ 4.3.4

$2$ を

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

ステップ 4.3.5

$\sqrt{3}$ を

$| | {v⃗}_{1} | |$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

ステップ 4.3.6

$(1, 1, 1)$ を

${v⃗}_{1}$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を

$3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{3}$ を

$3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1.4.1

共通因数を約分します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.1.4.2

式を書き換えます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.1.5

指数を求めます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

ステップ 4.3.7.2

$\frac{2}{3}$ に行列の各要素を掛けます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

ステップ 4.3.7.3

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.1

$\frac{2}{3}$ に

$1$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

ステップ 4.3.7.3.2

$\frac{2}{3}$ に

$1$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

ステップ 4.3.7.3.3

$\frac{2}{3}$ に

$1$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

ステップ 4.4

投影を代入します。

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

ステップ 4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

ベクトルの各成分をまとめます。

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

ステップ 4.5.2

$0$ から

$\frac{2}{3}$ を引きます。

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

ステップ 4.5.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

ステップ 4.5.4

公分母の分子をまとめます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

ステップ 4.5.5

$3$ から

$2$ を引きます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

ステップ 4.5.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 4.5.7

公分母の分子をまとめます。

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

ステップ 4.5.8

$3$ から

$2$ を引きます。

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5

直交ベクトル

${v⃗}_{3}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

この公式を使って

${v⃗}_{3}$ を求めます。

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

ステップ 5.2

$(0, 0, 1)$ を

${u⃗}_{3}$ に代入します。

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

ステップ 5.3

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

ドット積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

ステップ 5.3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1.1

$0$ に

$1$ をかけます。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

ステップ 5.3.1.2.1.2

$0$ に

$1$ をかけます。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

ステップ 5.3.1.2.1.3

$1$ に

$1$ をかけます。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

ステップ 5.3.1.2.2

$0$ と

$0$ をたし算します。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

ステップ 5.3.1.2.3

$0$ と

$1$ をたし算します。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

ステップ 5.3.2

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ のノルムを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

ステップ 5.3.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

ステップ 5.3.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

ステップ 5.3.2.2.4

$1$ と

$1$ をたし算します。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

ステップ 5.3.2.2.5

$2$ と

$1$ をたし算します。

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

ステップ 5.3.3

${u⃗}_{3}$ の

${v⃗}_{1}$ への投影を投影公式を用いて求めます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

ステップ 5.3.4

$1$ を

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

ステップ 5.3.5

$\sqrt{3}$ を

$| | {v⃗}_{1} | |$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

ステップ 5.3.6

$(1, 1, 1)$ を

${v⃗}_{1}$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 5.3.7

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を

$3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{3}$ を

$3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 5.3.7.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 5.3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 5.3.7.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1.4.1

共通因数を約分します。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 5.3.7.1.4.2

式を書き換えます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

ステップ 5.3.7.1.5

指数を求めます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

ステップ 5.3.7.2

$\frac{1}{3}$ に行列の各要素を掛けます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 5.3.7.3

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.3.1

$\frac{1}{3}$ に

$1$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 5.3.7.3.2

$\frac{1}{3}$ に

$1$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

ステップ 5.3.7.3.3

$\frac{1}{3}$ に

$1$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

ドット積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

ステップ 5.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1.1

$0 (- \frac{2}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1.1.1

$- 1$ に

$0$ をかけます。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

ステップ 5.4.1.2.1.1.2

$0$ に

$\frac{2}{3}$ をかけます。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

ステップ 5.4.1.2.1.2

$0$ に

$\frac{1}{3}$ をかけます。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

ステップ 5.4.1.2.1.3

$\frac{1}{3}$ に

$1$ をかけます。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

ステップ 5.4.1.2.2

$0$ と

$0$ をたし算します。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

ステップ 5.4.1.2.3

$0$ と

$\frac{1}{3}$ をたし算します。

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

ステップ 5.4.2

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ のノルムを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

べき乗則

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1.1

積の法則を

$- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.1.2

積の法則を

$\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

$- 1$ を

$2$ 乗します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.3

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ に

$1$ をかけます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.4

$2$ を

$2$ 乗します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.5

$3$ を

$2$ 乗します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.6

積の法則を

$\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.7

1のすべての数の累乗は1です。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.8

$3$ を

$2$ 乗します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.9

積の法則を

$\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 5.4.2.2.10

1のすべての数の累乗は1です。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

ステップ 5.4.2.2.11

$3$ を

$2$ 乗します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

ステップ 5.4.2.2.12

公分母の分子をまとめます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

ステップ 5.4.2.2.13

$4$ と

$1$ をたし算します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

ステップ 5.4.2.2.14

公分母の分子をまとめます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

ステップ 5.4.2.2.15

$5$ と

$1$ をたし算します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

ステップ 5.4.2.2.16

$6$ と

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.16.1

$3$ を

$6$ で因数分解します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

ステップ 5.4.2.2.16.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.16.2.1

$3$ を

$9$ で因数分解します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

ステップ 5.4.2.2.16.2.2

共通因数を約分します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

ステップ 5.4.2.2.16.2.3

式を書き換えます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

ステップ 5.4.2.2.17

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ を

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.4.2.2.18

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 5.4.2.2.19

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.19.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 5.4.2.2.19.2

$\sqrt{3}$ を

$1$ 乗します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 5.4.2.2.19.3

$\sqrt{3}$ を

$1$ 乗します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 5.4.2.2.19.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.4.2.2.19.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.19.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を

$3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.19.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{3}$ を

$3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.19.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.4.2.2.19.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.4.2.2.19.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.19.6.4.1

共通因数を約分します。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.4.2.2.19.6.4.2

式を書き換えます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 5.4.2.2.19.6.5

指数を求めます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.4.2.2.20

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.20.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

ステップ 5.4.2.2.20.2

$2$ に

$3$ をかけます。

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

ステップ 5.4.3

${u⃗}_{3}$ の

${v⃗}_{2}$ への投影を投影公式を用いて求めます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

ステップ 5.4.4

$\frac{1}{3}$ を

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

ステップ 5.4.5

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ を

$| | {v⃗}_{2} | |$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

ステップ 5.4.6

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ を

${v⃗}_{2}$ に代入します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.1.1

積の法則を

$\frac{\sqrt{6}}{3}$ に当てはめます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.1.2

${\sqrt{6}}^{2}$ を

$6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{6}$ を

$6^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.1.2.4.1

共通因数を約分します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.1.2.4.2

式を書き換えます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.1.2.5

指数を求めます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.1.3

$3$ を

$2$ 乗します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.1.4

$6$ と

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.1.4.1

$3$ を

$6$ で因数分解します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.1.4.2.1

$3$ を

$9$ で因数分解します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.1.4.2.2

共通因数を約分します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.1.4.2.3

式を書き換えます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.2

分子に分母の逆数を掛けます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.3.1

共通因数を約分します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.3.2

式を書き換えます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.4

$\frac{1}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.5

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.5.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.5.1.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.5.1.2

$2$ を

$- 2$ で因数分解します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.5.1.3

共通因数を約分します。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.5.1.4

式を書き換えます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.5.2

分数の前に負数を移動させます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.5.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.5.3.1

$\frac{1}{2}$ に

$\frac{1}{3}$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.5.3.2

$2$ に

$3$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 5.4.7.5.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.7.5.4.1

$\frac{1}{2}$ に

$\frac{1}{3}$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

ステップ 5.4.7.5.4.2

$2$ に

$3$ をかけます。

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

ステップ 5.5

投影を代入します。

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

ステップ 5.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

ベクトルの各成分をまとめます。

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

ステップ 5.6.2

ベクトルの各成分をまとめます。

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.3

$- (- \frac{1}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.3.2

$\frac{1}{3}$ に

$1$ をかけます。

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.1

公分母の分子をまとめます。

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.4.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.2.1

$- 1$ と

$1$ をたし算します。

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.4.2.2

$0$ を

$3$ で割ります。

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.5

$- 1$ に

$\frac{1}{6}$ をかけます。

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.6

$0$ から

$\frac{1}{3}$ を引きます。

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.7

$- \frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を

$6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.8.1

$\frac{1}{3}$ に

$\frac{2}{2}$ をかけます。

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.8.2

$3$ に

$2$ をかけます。

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.9.1

公分母の分子をまとめます。

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.9.2

$- 2$ から

$1$ を引きます。

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.10

$- 3$ と

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.10.1

$3$ を

$- 3$ で因数分解します。

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.10.2.1

$3$ を

$6$ で因数分解します。

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.10.2.2

共通因数を約分します。

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.10.2.3

式を書き換えます。

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.11

分数の前に負数を移動させます。

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.12

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.12.1

$1$ を分母

$1$ をもつ分数で書きます。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.12.2

$\frac{1}{1}$ に

$\frac{6}{6}$ をかけます。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.12.3

$\frac{1}{1}$ に

$\frac{6}{6}$ をかけます。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.12.4

$\frac{1}{3}$ に

$\frac{2}{2}$ をかけます。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.12.5

$\frac{1}{3}$ に

$\frac{2}{2}$ をかけます。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.12.6

$3 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.12.7

$2$ に

$3$ をかけます。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

ステップ 5.6.13

公分母の分子をまとめます。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

ステップ 5.6.14

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.14.1

$6$ から

$2$ を引きます。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

ステップ 5.6.14.2

$4$ から

$1$ を引きます。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

ステップ 5.6.15

$3$ と

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.15.1

$3$ を

$3$ で因数分解します。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

ステップ 5.6.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.15.2.1

$3$ を

$6$ で因数分解します。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

ステップ 5.6.15.2.2

共通因数を約分します。

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

ステップ 5.6.15.2.3

式を書き換えます。

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

ステップ 6

各直交ベクトルをそのノルムで割って正規直交基底を求めます。

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

ステップ 7

${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ となる単位ベクトル

$\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

ベクトル

$v⃗$ と同じ方向の単位ベクトルを求めるには、

$v⃗$ のノルムで割ります。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

ステップ 7.2

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

ステップ 7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

ステップ 7.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

ステップ 7.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

ステップ 7.3.4

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\sqrt{2 + 1}$

ステップ 7.3.5

$2$ と

$1$ をたし算します。

$\sqrt{3}$

ステップ 7.4

ベクトルをそのノルムで割ります。

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

ステップ 7.5

ベクトルの各要素を

$\sqrt{3}$ で割ります。

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

ステップ 8

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ となる単位ベクトル

$\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

ベクトル

$v⃗$ と同じ方向の単位ベクトルを求めるには、

$v⃗$ のノルムで割ります。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

ステップ 8.2

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

べき乗則

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

積の法則を

$- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 8.3.1.2

積の法則を

$\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 8.3.2

$- 1$ を

$2$ 乗します。

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 8.3.3

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$ に

$1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 8.3.4

$2$ を

$2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 8.3.5

$3$ を

$2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 8.3.6

積の法則を

$\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 8.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 8.3.8

$3$ を

$2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

ステップ 8.3.9

積の法則を

$\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 8.3.10

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

ステップ 8.3.11

$3$ を

$2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

ステップ 8.3.12

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

ステップ 8.3.13

$4$ と

$1$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

ステップ 8.3.14

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

ステップ 8.3.15

$5$ と

$1$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

ステップ 8.3.16

$6$ と

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.16.1

$3$ を

$6$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

ステップ 8.3.16.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.16.2.1

$3$ を

$9$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

ステップ 8.3.16.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

ステップ 8.3.16.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

ステップ 8.3.17

$\sqrt{\frac{2}{3}}$ を

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

ステップ 8.4

ベクトルをそのノルムで割ります。

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

ステップ 8.5

ベクトルの各要素を

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ で割ります。

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 8.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 8.6.2

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に

$\frac{2}{3}$ をかけます。

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 8.6.3

$2$ を

$\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 8.6.4

$3$ を

$\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 8.6.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 8.6.6

$\frac{1}{3}$ に

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

ステップ 8.6.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

ステップ 8.6.8

$\frac{1}{3}$ に

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

ステップ 9

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ となる単位ベクトル

$\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

ベクトル

$v⃗$ と同じ方向の単位ベクトルを求めるには、

$v⃗$ のノルムで割ります。

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

ステップ 9.2

ノルムは、ベクトルの各要素を2乗した和の平方根です。

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$0$ を正数乗し、

$0$ を得ます。

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 9.3.2

べき乗則

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

積の法則を

$- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 9.3.2.2

積の法則を

$\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 9.3.3

$- 1$ を

$2$ 乗します。

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 9.3.4

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に

$1$ をかけます。

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 9.3.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 9.3.6

$2$ を

$2$ 乗します。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 9.3.7

積の法則を

$\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 9.3.8

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

ステップ 9.3.9

$2$ を

$2$ 乗します。

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

ステップ 9.3.10

$0$ と

$\frac{1}{4}$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

ステップ 9.3.11

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

ステップ 9.3.12

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

ステップ 9.3.13

$2$ と

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.13.1

$2$ を

$2$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 9.3.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.13.2.1

$2$ を

$4$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 9.3.13.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 9.3.13.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 9.3.14

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 9.3.15

$1$ のいずれの根は

$1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 9.4

ベクトルをそのノルムで割ります。

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

ステップ 9.5

ベクトルの各要素を

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ で割ります。

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

ステップ 9.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

ステップ 9.6.2

$0$ に

$\sqrt{2}$ をかけます。

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

ステップ 9.6.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

ステップ 9.6.4

$\sqrt{2}$ と

$\frac{1}{2}$ をまとめます。

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

ステップ 9.6.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

ステップ 9.6.6

$\frac{1}{2}$ と

$\sqrt{2}$ をまとめます。

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 10

既知数を代入します。

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

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線形代数 例

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