線形代数例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$

ステップ 1

2つのベクトルのドット積が

0

$0$ であれば、それらは直交しています。

ステップ 2

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ と

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ のドット積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

1

$1$ に

1

$1$ をかけます。

1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.1.2

0

$0$ に

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ をかけます。

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.1.3

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

ステップ 2.2.2

1

$1$ と

0

$0$ をたし算します。

1 - 1

$1 - 1$

ステップ 2.2.3

1

$1$ から

1

$1$ を引きます。

0

$0$

0

$0$

0

$0$

ステップ 3

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ と

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ のドット積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

1

$1$ に

1

$1$ をかけます。

1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1

$1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

ステップ 3.2.1.2

0 (- \sqrt{2})

$0 (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

- 1

$- 1$ に

0

$0$ をかけます。

1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 3.2.1.2.2

0

$0$ に

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ をかけます。

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.2.1.3

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

ステップ 3.2.2

1

$1$ と

0

$0$ をたし算します。

1 - 1

$1 - 1$

ステップ 3.2.3

1

$1$ から

1

$1$ を引きます。

0

$0$

0

$0$

0

$0$

ステップ 4

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ と

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ のドット積を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

2つのベクトルのドット積は、その成分の積の和です。

1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

1

$1$ に

1

$1$ をかけます。

1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.2

\sqrt{2} (- \sqrt{2})

$\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ を

1

$1$ 乗します。

1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.2.2

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ を

1

$1$ 乗します。

1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.2.3

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1

$1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.2.4

1

$1$ と

1

$1$ をたし算します。

1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ を

2

$2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ を

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1

$1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1

$1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

2

$2$ をまとめます。

1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3.4

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$1 - 2^{1} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.3.5

指数を求めます。

$1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.4

$- 1$ に

$2$ をかけます。

$1 - 2 + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.1.5

$1$ に

$1$ をかけます。

$1 - 2 + 1$

ステップ 4.2.2

$1$ から

$2$ を引きます。

$- 1 + 1$

ステップ 4.2.3

$- 1$ と

$1$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

ドット積がすべて

$0$ なので、ベクトルは直交しています。

直交

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