線形代数例

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$ , $S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}]}$

ステップ 1

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}], [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}]}$

$v = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$

集合に $S$ 、ベクトルに $v$ という名前を付けます。

ステップ 2

線形の関係を設定して、式に自明でない解があるか確認します。

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}] + b [\begin{array}{c} - 3 \\ - 5 \\ 13 \end{array}] + d [\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 12 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$

ステップ 3

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

ベクトルを行列で書きます。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 \\ 2 & - 5 & - 1 \\ - 4 & 13 & - 12 \end{array}]$

ステップ 3.2

$A x = [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 11 \end{array}]$ の拡大行列で書きます。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 2 & - 5 & - 1 & 4 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

ステップ 3.3

行演算 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

行演算 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 - 2 \cdot - 3 & - 1 - 2 \cdot 2 & 4 - 2 \cdot - 1 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ - 4 & 13 & - 12 & 11 \end{array}]$

ステップ 3.4

行演算 $R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

行演算 $R_{3} = R_{3} + 4 R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 13 + 4 \cdot - 3 & - 12 + 4 \cdot 2 & 11 + 4 \cdot - 1 \end{array}]$

ステップ 3.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 & 7 \end{array}]$

ステップ 3.5

行演算 $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

行演算 $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 4 + 5 & 7 - 6 \end{array}]$

ステップ 3.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 5 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.6

行演算 $R_{2} = R_{2} + 5 R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

行演算 $R_{2} = R_{2} + 5 R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 + 5 \cdot 0 & 1 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 6 + 5 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.6.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.7

行演算 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

行演算 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 3 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.7.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.8

行演算 $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

行演算 $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 11 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 30 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 4

得られた式は整合しているので、ベクトルは集合の要素です。

$v \in ⟨ S ⟩$

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